3. Формула Лейбница для «пи»

Последний результат приводит к одной из красивейших математических формул, открытых в XVII в., — к знакопеременному ряду Лейбница, позволяющему вычислять :

Символ следует понимать в том смысле, что последовательность конечных «частных сумм», получающихся, когда в правой части равенств берется лишь членов суммы, стремится к пределу — при неограниченном возрастании

Чтобы доказать эту замечательную формулу, нам достаточно вспомнить формулу суммы конечной геометрической прогрессии

или

Если в последнее алгебраическое тождество подставим то получим

где «остаточный член» выражается формулой

Равенство (8) можно проинтегрировать в пределах от 0 до 1. Следуя правилу а) из § 3, мы должны взять в правой части сумму интегралов от отдельных слагаемых. На основании (4) мы знаем, что

откуда, в частности, получим а следовательно,

Согласно формуле (5), левая часть формулы (9) равна Разность между и частной суммой

равна Остается доказать, что стремится к нулю при возрастании Мы имеем неравенство

Вспомнив формулу (13) § 1, устанавливающую неравенство

мы видим, что

Правая часть в этом неравенстве, согласно формуле (4), равна поэтому Окончательно имеем неравенство

Так как стремится к нулю, то это и показывает, что стремится к при возрастании Таким образом, формула Лейбница доказана.