Глава II. Математическая числовая система
Введение
В дальнейшем мы должны в очень значительной степени расширить понятие числа, связываемое первоначально с натуральным рядом, для того чтобы сконструировать мощный инструмент, способный удовлетворять потребностям и практики, и теории. Исторически — в процессе долгой и неуверенно протекавшей эволюции — нуль, целые отрицательные числа и рациональные дроби приобрели постепенно те же права, что и числа натурального ряда, и в наши дни правилами действий со всеми этими числами прекрасно овладевает средний ребенок школьного возраста. Но для того чтобы обеспечить полную свободу в алгебраических операциях, нужно идти и дальше и охватить расширенным понятием также иррациональные и комплексные числа. Хотя эти обобщения понятия числа употреблялись уже столетия тому назад и на них базируется вся современная математика, но на прочный логический фундамент они были поставлены лишь в недавнее время. В настоящей главе мы дадим очерк основных этапов этого развития.
§ 1. Рациональные числа
1. Рациональные числа как средство измерения.
Натуральные числа возникают как абстракция в процессе счета объектов, образующих конечные совокупности. Но в повседневной жизни нам приходится не только считать объекты, индивидуально отделенные один от другого, но и измерять величины, например, такие, как длина, площадь, вес, время. Если мы хотим обеспечить свободу операций с результатами измерения таких величин, могущих неограниченно делиться на части, нам необходимо, не ограничиваясь натуральным рядом, расширить пределы арифметики и создать новый мир чисел. Первый шаг заключается в том, чтобы проблему измерения свести к проблеме счета. Мы выбираем сначала совершенно произвольно единицу измерения — фут, ярд, дюйм, фунт, грамм — смотря по случаю, и этой единице приписываем меру 1. Затем мы считаем число таких единиц,
входящих в измеряемую величину. Может случиться, что данный кусок свинца весит ровно 54 фунта. Но в общем случае, как мы замечаем, процесс счета «не сходится»: данная величина не измеряется абсолютно точно выбранной единицей, не оказывается ей кратной. Самое большее, что мы можем сказать в этом случае, — это то, что она заключена между двумя последовательными кратными этой единицы, допустим, между 53 и 54 фунтами. Если так действительно происходит, то мы делаем следующий шаг и вводим новые подъединицы, получающиеся от подразделения первоначальной единицы на некоторое число 
равных частей. На обыкновенном языке эти новые подъединицы могут иметь те или иные названия; например, фут подразделяется на 12 дюймов, метр — на 100 сантиметров, фунт — на 16 унций, час — на 60 минут, минута — на 60 секунд и т. д. Однако в общей математической символике подъединица, получаемая при подразделении первоначальной единицы на 
частей, обозначается символом 
и если рассматриваемая величина содержит ровно 
таких подъединиц, то ее мера тогда есть Этот символ называется дробью или отношением (иногда пишут 
Последний, и самый существенный, шаг был совершен уже осознанно, после многих столетий накопления отдельных усилий: символ 
был освобожден от его конкретной связи с процессом измерения и самими измеряемыми величинами и стал рассматриваться как отвлеченное число, самостоятельная сущность, уравненная в своих правах с натуральным числом. Если тип — натуральные числа, то символ 
называется рациональным числом.
Употребление термина «число» (первоначально под «числами» понимали только натуральные числа) применительно к новым символам оправдывается тем обстоятельством, что сложение и умножение этих символов подчиняются тем же законам, что и соответствующие операции над натуральными числами. Чтобы в этом убедиться, нужно сначала определить, в чем заключается сложение и умножение рациональных чисел, а также определить, какие рациональные числа признаются равными между собой. Эти определения, как всем известно, таковы:
где а, b, с, d - произвольные натуральные числа. Например:
Эти самые определения мы вынуждены принять, если имеем в виду использовать рациональные числа для измерения длин, площадей и т.п. Но с более строгой логической точки зрения эти правила сложения и умножения и это толкование равенства по отношению ко вновь вводимым символам устанавливаются независимо по определению, не будучи обусловлены какой-либо иной необходимостью, кроме взаимной совместимости (непротиворечивости) и пригодности к практическим приложениям. Исходя из определений (1), можно показать, что основные законы арифметики натуральных чисел продолжают сохраняться и в области всех рациональных чисел:
Так, например, доказательство коммутативного закона сложения в случае дробей ясно из следующих равенств:
здесь первое и последнее равенства оправдываются определением сложения (1), а среднее есть следствие коммутативных законов сложения и умножения в области натуральных чисел. Читатель сможет, если пожелает, проверить таким же образом четыре остальных закона.
