4. Явные выражения числа е^x и функций lnx в виде пределов.
Для того чтобы найти явные формулы, выражающие эти функции, мы используем формулы дифференцирования показательной и логарифмической функции. Так как производная функции 
равна то, в силу определения производной, мы получаем соотношение
Положим 
и допустим, что 
стремится к нулю, пробегая последовательность 
тогда, применяя правила действий с логарифмами, мы получим
Если вместо мы подставим z и перейдем к пределу, то написанное выше соотношение примет вид
Или, в терминах показательной функции,
Мы получили общеизвестную формулу, определяющую показательную функцию просто как предел. В частности, при 
эта формула дает
а при 
получается
Эти выражения сразу ведут к разложениям в бесконечные ряды. По биномиальной теореме можно написать
или
Позволительно догадываться и нетрудно полностью доказать (подробности мы здесь пропускаем), что можно перейти к пределу при 
путем замены в каждом члене величины 
на 0. Это дает хорошо известный бесконечный ряд, который служит для вычисления функции 
и, в частности, при 
ряд, сходящийся к пределу 
чем устанавливается идентичность 
с тем числом, определение которого дано на стр. 345. При 
получается ряд
который дает превосходное приближение уже при очень малом числе членов, так как ошибка, которую мы совершаем, обрывая ряд на 
члене, меньше величины 
члена.
Пользуясь формулой дифференцирования показательной функции, можно получить интересное выражение для логарифма. Имеет место соотношение
так как указанный предел есть не что иное, как значение производной от функции 
при 
а таковое равно 1. Подставим в эту формулу вместо 
значение где 
произвольное число, а 
пусть пробегает последовательность целых положительных чисел. Тогда мы получим
или
при 
Вводя обозначение 
или 
можно окончательно написать
Поскольку 
при 
(см. стр. 373), формула (15) представляет логарифм в виде произведения двух множителей, из которых первый стремится к бесконечности, а второй — к нулю.
Примеры и упражнения
(см. скан)
