Главная > Что такое математика?
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5. Замечания, касающиеся задач на отражение и эргодическое движение.

В динамике и в оптике представляется задачей первостепенной важности дать описание пути, или «траектории», частицы или светового луча в пространстве на протяжении неограниченного промежутка времени. Предполагая, что то или иное приспособление физически принуждает частицу или луч оставаться в некоторой ограниченной части пространства, особенно интересно установить, заполняет ли траектория в пределе эту часть пространства повсюду с приблизительно одинаковой «плотностью». Траектория, обладающая таким свойством, называется эргодической. Допущение существования

эргодической траектории является исходной гипотезой для применения статистических методов в современных динамических и атомных теориях. Но известно лишь очень немного ситуаций, при которых может быть проведено строгое математическое доказательство «эргодической гипотезы».

Рис. 204-207. Четыре типа световых треугольников между тремя кругами

Простейшие примеры относятся к случаю, когда движение происходит на плоскости внутри замкнутой кривой С, причем предполагается, что «стенка» С представляет собой математически совершенное зеркало, отражающее частицу (в остальном — свободную) под тем же углом, под каким она падает на стенку. Так, например, прямоугольный ящик — идеализированный биллиардный стол с совершенным отражением, причем рассматриваемая частица играет роль биллиардного шара, — обеспечивает, вообще говоря, эргодическое движение: идеальный «биллиардный шар» на протяжении бесконечного промежутка времени побывает в окрестности любой наперед заданной точки, если только исключить некоторые особые начальные положения и направления движения. Мы не приводим здесь доказательства, впрочем, не представляющего трудностей принципиального порядка.

Особенно любопытно движение на эллиптическом столе с фокусами Так как касательная к эллипсу делает одинаковые углы с отрезками, проведенными из фокусов в точку касания, то каждая траектория, проходящая через один из фокусов, дает отражение, проходящее через другой фокус, и т. д. Нетрудно усмотреть, что после отражений, независимо от начального положения, траектория при неограниченно возрастающем, будет приближаться к большой оси Если начальный луч не проходит через фокус, то возникают две возможности. Или начальный луч проходит между фокусами: тогда все отраженные траектории будут проходить между фокусами, причем будут касательными к некоторой гиперболе с теми же фокусами Или же начальный луч не разделяет фокусов: тогда этим же свойством будут обладать все отраженные лучи, причем все они будут касаться некоторого эллипса

с теми же фокусами Таким образом, движение внутри эллипса ни при каких начальных условиях не оказывается эргодическим.

Упражнения.

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление