Главная > Что такое математика?
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Формула Муавра и корни из единицы.

Под корнем степени из числа а мы понимаем всякое такое число что . В частности, число 1 имеет два квадратных корня: 1 и —1, так как Число 1 имеет один действительный кубический корень, именно 1, тогда как оно же имеет четыре корня четвертой степени: два действительных, 1 и —1, и два мнимых, Эти факты наводят на мысль, что в комплексной области должно существовать еще два кубических корня из 1 (а всего кубических корней тогда будет три). С помощью формулы Муавра мы покажем, что эта догадка справедлива.

Рис. 25. Двенадцать корней двенадцатой степени из единицы

Мы убедимся, что в поле комплексных чисел существует ровно корней степени из 1. Эти корни изображаются вершинами правильного -угольника, вписанного в единичный круг и имеющего точку 1 в качестве одной из вершин.

Сказанное почти ясно из рис. 25 (соответствующего случаю Первая вершина многоугольника есть 1. Следующая есть

так как аргумент должен равняться части угла в 360°. Еще следующая вершина есть так как мы получим ее, вращая вектор а на угол Дальше получаем вершину после шагов возвращаемся снова к вершине 1, т. е. получаем

что следует также из формулы (11), так как

Итак, есть корень уравнения же справедливо относительно следующей вершины

Мы убедимся в этом, если напишем

или же воспользуемся формулой Муавра

Точно так же мы заключаем, что все чисел

являются корнями степени из 1. Если будем степени увеличивать дальше или рассмотрим отрицательные степени, то новых корней не получим. В самом деле,

и т. д. так что ранее полученные корни повторяются. Читателю предоставляем в качестве упражнения показать, что иных корней, кроме перечисленных, рассматриваемое уравнение не имеет.

Если четное, то одна из вершин -угольника попадает в точку — 1, в соответствии с общеизвестным алгебраическим фактом: —1 есть корень четной степени из 1.

Уравнение, которому удовлетворяют корни степени из 1,

степени, но легко понизить его степень на единицу. Воспользуемся алгебраической формулой

Так как произведение двух чисел равно 0 в том и только в том случае, если один из множителей равен нулю, то выражение (14) обращается в нуль или при или при условии, что удовлетворяется уравнение

Этому уравнению удовлетворяют корни оно называется циклотомическим, или уравнением деления окружности. Так, например, мнимые кубические корни из 1

являются корнями уравнения

как читатель сможет убедиться, выполняя подстановки. Таким же образом корни пятой степени из 1 (кроме самого числа 1) удовлетворяют Уравнению

Чтобы построить правильный пятиугольник, нам приходится решить Уравнение четвертой степени. Простое алгебраическое ухищрение

замена приводит к уравнению второй степени. Мы делим уравнение (16) на и переставляем члены:

и, принимая во внимание, что получаем

По формуле (7) пункта 1 корни этого квадратного уравнения имеют вид:

Итак, мнимые корни пятой степени из 1 являются корнями следующих двух квадратных уравнений:

и

Читатель сможет их решить по той же формуле (7).

Упражнения.

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление