Приложение. Геометрия в пространствах более чем трех измерений

1. Введение.

То «реальное» пространство, которое служит средой нашего физического опыта, имеет три измерения, плоскость имеет два измерения, прямая — одно. Наша, в обычном смысле понимаемая, пространственная интуиция решительно ограничена тремя измерениями — и дальше не простирается. Тем не менее во многих случаях вполне уместно говорить о «пространствах», имеющих четыре или более измерений. В каком же смысле допустимо говорить об -мерном пространстве, где и для чего могут быть полезны такие пространства? Ответ можно дать, став или на аналитическую, или на геометрическую точку зрения. Терминологию -мерного пространства дозволительно рассматривать только как образный язык, служащий для выражения математических идей, находящихся вне пределов обыкновенной геометрической интуиции.

2. Аналитический подход.

Мы уже имели случай обратить внимание читателя на изменение роли аналитической геометрии, происшедшее на протяжении ее развития. Точки, прямые, кривые линии и т.д. первоначально рассматривались как чисто геометрические

объекты, и задачей аналитической геометрии было всего-навсего, сопоставляя им координаты или уравнения, интерпретировать и развивать дальше геометрическую теорию алгебраическими или аналитическими методами. Но с течением времени постепенно начала утверждаться противоположная точка зрения. Число х, или пара чисел х, у, или тройка чисел х, у, z стали рассматриваться как исходные, основные объекты и эти аналитические объекты, далее, конкретизировались, или, еще лучше сказать, «визуализировались» в виде точек на прямой, на плоскости, в пространстве. И тогда геометрический язык стал служить для того, чтобы констатировать наличие тех или иных соотношений между числами. При этом мы лишаем геометрические объекты их самостоятельного и независимого значения и говорим, что пара чисел х, у есть точка на плоскости, совокупность всех пар х, у, удовлетворяющих линейному уравнению с — данные постоянные числа), есть прямая линия и т. д. Такие же определения устанавливаются и для трехмерного пространства.

Даже в том случае, когда мы занимаемся собственно алгебраической проблемой, язык геометрии нередко представляется вполне удобным для краткого и совершенно точного описания фактов, и геометрическая интуиция начинает работать, подсказывая правильные алгебраические процедуры. Например, решая систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными х, у, z

мы истолковываем стоящую перед нами задачу геометрически и говорим, что в трехмерном пространстве требуется найти точку пересечения трех плоскостей, заданных уравнениями Другой пример: рассматривая все такие числовые пары х, у, что мы скажем, что имеем дело с полуплоскостью, расположенной вправо от оси у. В более общем случае совокупность числовых пар х, у, для которых выполняется неравенство

интерпретируется как полуплоскость, лежащая по одну сторону прямой а совокупность таких числовых троек х, у, z, что

Как «полупространство», определяемое плоскостью

После этих разъяснений нам совсем легко перейти к «четырехмерному» или даже к «-мерному» пространству. Рассмотрим четверку чисел Скажем, что такая четверка представляет собой точку, или, еще проще, есть точка в четырехмерном пространстве Вообще, по определению, точка -мерного пространства есть не что иное, как система из действительных чисел записанных в определенном порядке. Не так важно, что мы не «видим» этой точки. Геометрический язык не перестает быть вполне понятным в случае, если идет речь об алгебраических свойствах переменных. Дело в том, что многие алгебраические свойства линейных уравнений и т.п. совершенно не зависят от числа входящих переменных, или, как принято говорить, от размерности пространства этих переменных. Мы назовем, таким образом, «гиперплоскостью» совокупность всех таких точек в -мерном пространстве которые удовлетворяют линейному уравнению

Точно так же основная алгебраическая задача решения системы линейных уравнений с неизвестными

истолковывается на геометрическом языке как нахождение точки пересечения гиперплоскостей

Преимущество такого геометрического способа описывать математические факты заключаются в том, что он подчеркивает некоторые обстоятельства алгебраического порядка, которые не зависят от числа измерений и вместе с тем в случае могут быть наглядно интерпретированы. Во многих приложениях употребление геометрической терминологии имеет также преимущество краткости, а вместе с тем облегчает аналитические рассуждения, а иногда руководит ими и направляет их в должную сторону. Теория относительности снова может быть приведена здесь в качестве примера области, в которой существенный успех был достигнут по той причине, что три пространственные координаты х, у, z и временная координата «события» были объединены в одно «пространственно-временное» четырехмерное многообразие Подчиняя, таким образом, «пространство-время»

этой аналитической схеме и наделяя его, кроме того, свойствами неевклидовой геометрии, удалось описать многие весьма сложные ситуации с замечательной простотой. Столь же полезными оказались -мерные пространства в механике, в статистической физике, не говоря уже о самой математике.

Приведем еще кое-какие чисто математические примеры. Совокупность всех кругов на плоскости образует трехмерное многообразие, так как круг с центром у и радиусом может быть изображен точкой с координатами Так как радиус круга есть положительное число, то совокупность рассматриваемых точек заполняет полупространство. Таким же образом совокупность всех сфер в обыкновенном трехмерном пространстве образует четырехмерное многообразие, так как каждая сфера с центром и радиусом может быть представлена точкой с координатами Куб в трехмерном пространстве с центром в начале координат, ребрами длины 2 и гранями, параллельными координатным плоскостям, состоит из совокупности всех точек для которых Так же точно «куб» в -мерном пространстве с центром в начале координат, «ребрами» длины 2 и «гранями», параллельными координатным плоскостям, определяется как совокупность точек для которых одновременно справедливы неравенства «Поверхность» такого куба состоит из всех точек, для которых хотя бы в одном из этих соотношений имеет место знак равенства. Поверхностные элементы размерности состоят из точек, для которых знак равенства стоит по меньшей мере два раза; и т.д.

Упражнение. Дайте описание поверхности такого куба в трехмерном, четырехмерном, -мерном пространствах.

3. Геометрический, или комбинаторный, подход.

Хотя аналитический подход к -мерной геометрии чрезвычайно прост и удобен для многих приложений, все же следует упомянуть и о другом методе, носящем чисто геометрический смысл. Он основан на редукции от -мерных к -мерным данным и тем открывает возможность определять многомерные геометрии с помощью процесса математической индукции.

Начнем с того, что рассмотрим контур треугольника в двух Измерениях. Разрезая его в точке С и затем поворачивая стороны и соответственно около мы выпрямим контур в прямолинейный отрезок (рис. 116), на котором точка С будет фигурировать Полученная одномерная фигура дает исчерпывающее представление контура двумерного треугольника. Сгибая фигуру в точках А и В

Рис. 116. Определение треугольника по сторонам с сопоставленными друг другу концами

и добившись совпадения двух точек С, мы имеем возможность восстановить треугольник. Но важно то, что сгибать вовсе и не нужно. Достаточно условиться, что мы «идентифицируем» (т. е. не будем различать) обе точки С, несмотря на то, что эти две точки и не совпадают в обычном смысле. Можно сделать еще следующий шаг: разрезая фигуру также и в точках мы получим три отрезка которые при желании можно опять сложить таким образом, чтобы был восстановлен «настоящий» треугольник причем пары идентифицируемых точек совпадут между собой. Идея идентифицировать различные точки в данной совокупности отрезков, чтобы из них построить многоугольный контур (в нашем случае — треугольник), практически иногда оказывается очень полезной. Если нужно отправить в дальнее путешествие какое-нибудь соединение из металлических балок, например, мостовую ферму, то удобнее всего упаковать сложенные вместе, предварительно разъединенные балки, обозначив одними и теми же знаками те концы различных балок, которые должны быть соединены вместе. Такое собрание балок с мечеными концами совершенно эквивалентно пространственной конструкции. Предыдущее замечание приводит к мысли о том, как можно «разнять» двумерный многогранник в трехмерном пространстве, заменяя его фигурами низших измерений. Возьмем, например, поверхность куба (рис. 117). Ее сейчас же можно свести к системе из шести квадратов, стороны которых надлежащим образом идентифицированы; следующий шаг будет состоять в том, чтобы, заменить эту систему квадратов системой из 12 прямолинейных отрезков с надлежащим образом идентифицированными концами.

Вообще какой угодно многогранник в трехмерном пространстве приводится таким образом или к системе плоских многоугольников, или к системе прямолинейных отрезков.

Рис. 117. Определение куба по сопоставленным друг другу вершинам и ребрам

Упражнение. Выполнять указанную редукцию для всех правильных многогранников (см. стр. 318).

Теперь уже ясно, что мы можем обратить ход наших рассуждений, определяя многоугольник на плоскости с помощью системы прямолинейных отрезков и многогранник в пространстве с помощью системы многоугольников в или же, при условии дальнейшей редукции, с помощью опять-таки прямолинейных отрезков. Но тогда совершенно естественно определить «многогранник» в четырехмерном пространстве с помощью системы многогранников в при надлежащей идентификации из двумерных граней; «многогранник» в с помощью «многогранников» в и т. д. В конечном счете всякий «многогранник» в сводится к системе отрезков.

Останавливаться на этом вопросе дальше мы лишены возможности. Добавим лишь несколько замечаний, не приводя доказательств. «Куб» в ограничен 8 трехмерными кубами, из которых каждый имеет со своими «соседями» по идентифицированной двумерной грани. Такой куб имеет 16 вершин, в каждой вершине сходятся по четыре ребра; ребер всего имеется 32. В существует шесть правильных многогранников. Кроме «куба», имеется один, ограниченный 5 правильными

Рис. 118. Простейшие элементы в 1, 2, 3, 4 измерениях

тетраэдрами, один, ограниченный 16 тетраэдрами, один, ограниченный 24 октаэдрами, один, ограниченный 120 додекаэдрами, и еще один, ограниченный 600 тетраэдрами. Доказано, что в при существует только 3 правильных многогранника: один с вершинами, ограниченный многогранниками из имеющими по -мер-ных граней; один с вершинами, ограниченный многогранниками из имеющими по -мерных граней; и еще один с вершинами, ограниченный многогранниками из имеющими по -мерных граней.

Упражнение. Сравнить определение «куба» из данное в пункте 2, с определением, данным в настоящем пункте, и установить, что прежнее «аналитическое» определение куба равносильно настоящему «комбинаторному».

Со структурной, или «комбинаторной», точки зрения простейшими геометрическими фигурами размерности 0, 1, 2, 3 являются соответственно точка, отрезок, треугольник, тетраэдр. Ради единообразия символики обозначим фигуры этого типа соответственно То, (Значки указывают на размерность.) Структура каждой из этих фигур характеризуется тем, что каждая фигура типа имеет вершин и каждое подмножество из вершин фигуры типа определяет некоторую фигуру типа Например, трехмерный тетраэдр имеет 4 вершины, 6 ребер и 4 грани.

Ясно, как будет дальше. Мы определим четырехмерный «тетраэдр» как множество, состоящее из 5 вершин, причем каждое подмножество из 4 вершин порождает фигуру типа каждое подмножество из 3 вершин — фигуру типа и т.д. Фигура типа схематически показана на рис. 118: мы видим, что у нее 5 вершин, 10 ребер, 10 треугольных граней и 5 тетраэдров.

Обобщение на измерений не представляет труда. Из теории соединений известно, что существует ровно таких

различных подмножеств по объектов, которые могут быть составлены из множества объектов. Поэтому -мерный «тетраэдр» содержит вершин (фигур типа

Упражнение. Нарисовать схематически фигуру типа и определить число фигур типа в ней содержащихся .