4. Свойства касательных к эллипсу и гиперболе. Соответствующие экстремальные свойства.

С теоремой Герона связаны некоторые важные геометрические задачи. Мы установили, что если такая точка на прямой что обращается в минимум, то прямые и образуют одинаковые углы с Обозначим минимальное значение через .

Пусть, с другой стороны, обозначают расстояния произвольной точки плоскости соответственно от

точек рассмотрим геометрическое место всех точек плоскости, для которых Это геометрическое место — эллипс с фокусами проходящий через точку на прямой причем прямая касается этого эллипса в точке Действительно, если бы прямая пересекала эллипс еще в какой-то точке, кроме то существовал бы отрезок прямой лежащий внутри эллипса; для каждой точки этого отрезка было бы меньше, чем : в самом деле, легко убедиться, что меньше или больше, чем , смотря по тому, находится ли рассматриваемая точка внутри или вне эллипса. Но так как мы знаем, что для точек на прямой непременно то сделанное предположение приходится отбросить. Итак, прямая касательная к эллипсу в точке Кроме того, мы знаем, что и образуют одинаковые углы с отсюда в качестве побочного результата наших рассуждений вытекает важная теорема: касательная к эллипсу образует равные углы с прямыми, проведенными из фокусов в точку касания.

Рис. 182.

Следующая задача родственна предыдущей. Дана прямая линия и две точки по разные стороны (рис. 182); требуется найти такую точку на чтобы величина т. е. абсолютное значение разности расстояний точки от была как можно больше. (Мы допускаем, что не является перпендикуляром, восстановленным из середины отрезка иначе равнялось бы нулю для всякой точки и задача потеряла бы смысл.) Приступая к решению задачи, построим зеркальное отражение точки Р относительно полученная точка Р расположена по ту же сторону что и Какова бы ни была точка на мы имеем: Так как разность двух сторон треугольника никогда не превышает третьей стороны, то, рассматривая треугольник можно заключить, что величина меньше или равна и, как видно из чертежа, только при условии, что расположены на одной прямой, может оказаться равным Поэтому искомая точка есть точка пересечения прямой с прямой, проведенной через Как и в предыдущей задаче, не представляет труда установить, ссылаясь на конгруэнтность треугольников и что углы, которые с прямой делают отрезки и одинаковы.

Рис. 183. Свойство касательной к гиперболе

Отсюда, как и в прежней задаче, уже ничего не стоит получить свойство касательной к гиперболе. Принимая наибольшее значение разности равным 2а, рассмотрим геометрическое место всех точек в плоскости, для которых абсолютное значение равно 2а. Это — гипербола с фокусами проходящая через точку Легко убедиться, что абсолютное значение меньше, чем 2а в области, заключенной между двумя ветвями гиперболы, и больше, чем по ту сторону каждой из ветвей, по которую лежит соответствующий фокус. Отсюда — в основном с помощью такой же аргументации, как и в случае эллипса, — вытекает, что прямая касается гиперболы в точке К которой именно из ветвей прямая является касательной, — это зависит от того, которая из точек ближе к если ближе точка Р, то касается прямой та ветвь, которая окружает и аналогично для (рис. 183). Если находятся на равных расстояниях от прямой то не касается ни той, ни другой ветви гиперболы, а является одной из ее асимптот. Об этом результате позволительно догадываться, исходя из того соображения, что описанное выше построение в рассматриваемом случае не дает никакой (конечной) точки так как прямая оказывается параллельной прямой

Так же, как и в случае эллипса, наши рассуждения приводят к хорошо известной теореме: касательная, проведенная в любой точке гиперболы, делит пополам угол между отрезками, проведенными из фокусов в точку касания.

Может показаться странным, что приходится решать задачу о минимуме, если точки лежат по одну сторону тогда как, если точки лежат по разные стороны мы рассматриваем задачу о максимуме. Но нетрудно прийти к заключению, что указанное различие совершенно естественно. В первой задаче при удалении по прямой в бесконечность — в одну или в другую сторону — каждое из расстояний и , следовательно и их сумма, неограниченно возрастает. Таким образом, было бы невозможно найти наибольшее значение и единственной возможной является постановка задачи о минимуме. Дело обстоит совершенно иначе во второй задаче, когда лежат по разные стороны В этом случае не будем смешивать три различные величины: разность обратную разность и абсолютное

значение именно, для последней величины мы определяли максимум. Как обстоит дело, легче всего понять, если представить себе, что точка движется по прямой занимая различные положения Существует такое положение для которого разность обращается в нуль: при этом прямая пересекается с перпендикуляром к отрезку проведенным из его середины. Ясно, что при этом положении точка дает минимум для абсолютного значения Но по одну сторону от этой точки больше, чем по другую — меньше; значит, величина положительна по одну сторону точки и отрицательна — по другую. Следовательно, сама эта величина не имеет ни максимума, ни минимума в точке, где . С другой стороны, та точка, в которой имеет максимум, наверное, дает экстремум для Если то имеется максимум для если то максимум для и, значит, минимум для Имеется ли максимум или минимум для это зависит от положения двух данных точек относительно прямой

В случае, если находятся на равных расстояниях от решения задачи о максимуме, как мы видели, нет вовсе, так как прямая (см. рис. 182) параллельна . И тогда при удалении в бесконечность в том или в другом направлении величина стремится к некоторому конечному пределу. Этот предел есть не что иное, как длина проекции отрезка на прямую (читатель может доказать это в качестве упражнения). Величина при рассматриваемых обстоятельствах всегда меньше, чем предел и максимума не существует, так как, какова бы ни была данная точка всегда можно указать другую, более удаленную, для которой будет больше и, однако, еще не совсем равно

Рис. 184. Экстремальные расстояния до точек кривой