2. Замечания по поводу понятия предела

Определение предела — результат столетних попыток и блужданий; оно кратко воплощает результат неустанных усилий поставить понятие предела на здоровую математическую основу. Важнейшие понятия анализа — производная и интеграл — могут быть определены не иначе, как с помощью перехода к пределу. Но ясное понимание и строгое определение самого понятия предела долгое время казались непреодолимо трудными.

При изучении движения в частности и какого бы то ни было изменения в общем случае математики XVII и XVIII столетий принимали, как нечто достаточно наглядное и не подлежащее дальнейшему анализу, концепцию величины х, меняющейся и в своем непрерывном течении приближающейся к предельному значению Они рассматривали другую величину связанную с течением времени или иной, похожей на время, независимой величиной своем поведении следующую за изменениями величины х. Оставалось все же проблемой: какой точный математический смысл следует приписывать представлению о том, что «стремится» или «приближается» к определенному значению а, когда х движется к

Однако еще со времен Зенона и его парадоксов все попытки дать точную математическую формулировку интуитивному физическому или метафизическому понятию непрерывного движения были безуспешными. Нет затруднений в продвижении шаг за шагом по дискретной последовательности значений когда приходится иметь дело с непрерывной переменной х, пробегающей целый интервал значений на числовой оси, то описание того, как х «приближается» к заданному значению затруднено тем, что принимаемые значения из интервала не могут быть указаны последовательно в порядке их возрастания. В самом деле, точки прямой представляют везде плотное Множество, и не существует точки, «следующей» за данной. Остается неизбежное расхождение между интуитивной идеей и точным математическим языком, предназначенным для того, чтобы описывать ее основные линии в научных, логических терминах. Парадоксы Зенона Ярко обнаруживают это несоответствие.

Существенным достижением Коши является то, что он ясно осознал, что, поскольку дело касается математических понятий, всякая ссылка на интуитивное представление о непрерывном движении должна быть отброшена. Как случается нередко, подлинный научный

прогресс был осуществлен тогда, когда последовал отказ от попыток прибегать к метафизическим объяснениям и было принято решение вести рассуждение, оставаясь на почве строго математических понятий, соответствующих «наблюдаемым фактам» в физике. Если мы проанализируем логически, что надлежит понимать под «непрерывным приближением», и какие существуют способы для того, чтобы в каждом отдельном случае проверить, имеет ли место таковое, то мы вынуждены будем принять именно то самое определение, которое дано Коши, и никакое иное. Это определение — статическое; оно не опирается на интуитивную идею движения. Более того, только такое статическое определение позволяет подвергнуть точному математическому анализу само непрерывное движение и разрешает парадоксы Зенона, по крайней мере в той их части, которая относится к математике.

В определении с помощью независимое переменное не «движется»; оно не «стремится» и не «приближается» к пределу в каком бы то ни было физическом смысле. Правда, эти обороты речи, как и символ сохраняются, и вместе с тем математик вовсе не обязан отказываться от тех, в общем-то весьма полезных, интуитивных представлений, которые с ними связываются. Но когда в частном случае нужно дать ответ на вопрос, существует предел или не существует, то приходится прибегнуть именно к определению с помощью Спрашивать о том, насколько удовлетворительно это определение соответствует интуитивному «динамическому» представлению о стремлении к пределу, можно с таким же правом, как и о том, насколько удовлетворительно аксиомы геометрии описывают то, что мы называем пространством (в интуитивном смысле).

Обе формулировки в какой-то степени предоставляют возможность работать воображению, и вместе с тем обе они создают адекватную математическую основу для дальнейшего логического построения.

Как и в случае предела последовательности, ключ к правильному пониманию определения Коши лежит в обращении «естественного» порядка, в котором рассматриваются переменные. Прежде мы отмечаем границу для зависимого переменного, а уже потом стремимся определить подходящую границу S для независимого переменного. Когда мы говорим, что а при то лишь сокращенно высказываем ту мысль, что этот процесс может быть выполнен для любого положительного числа ?. В частности, ни одна из частей этого утверждения, например, не имеет смысла сама по себе.

Еще нужно подчеркнуть следующее. Заставляя х «стремиться» к мы можем позволить х быть больше или меньше, чем но

возможность равенства явно исключается требованием стремится к но никогда не принимает значения Таким образом, мы можем применять наше определение к функциям, не определенным вовсе при но имеющим тот или иной предел при х, стремящемся к например, к функции рассмотренной на стр. 351. Исключение значения как раз соответствует тому факту, что, рассматривая последовательности при (например, предел мы никогда не подставляем в формулу значения

Однако что касается функции то, когда х стремится к ей не запрещено стремиться к пределу а таким образом, что при некоторых значениях осуществляется равенство а. Например, рассматривая функцию при х, стремящемся к 0, мы никогда не позволяем х быть равным 0, но зато, напротив, равенство справедливо при всех и предел а существует и равен 1 в точном согласии с определением.