§ 3. Пределы при непрерывном приближении
1. Введение.
Общие определения. В § 2, пункт 1, нам удалось дать точное определение утверждению: «последовательность 
(т. е. функция 
целого переменного 
) имеет предел а при 
стремящемся к бесконечности». Теперь мы дадим соответствующее определение утверждению: «функция 
непрерывной переменной х имеет предел а при стремлении х к значению 
В интуитивной форме понятие предела при непрерывном приближении независимого переменного х употреблялось уже в § 1, пункт 5, когда нужно было установить, непрерывна ли рассматриваемая функция в данной точке.
Рис. 168. 
Начнем опять с частного примера. Функция 
определена для всех значений х, неравных нулю; при этом последнем значении х знаменатель уничтожается. Если мы вычертим график функции 
для значений х в окрестности точки 0, то станет очевидным, что при х, «стремящемся» к 0 с любой стороны, соответствующие значения 
«стремятся» к пределу 1. Для того чтобы дать точное описание этого факта, найдем явную формулу разности Между значением функции 
и постоянного числа 1:
Если мы условимся рассматривать лишь значения х, близкие к 0, но не Равные самому нулю (для которого функция 
даже не определена), Мы можем разделить числитель и знаменатель на 
и получить более Простую формулу
Ясно, что эту разность мы можем сделать сколь угодно малой, ограничивая изменение переменной х достаточно малой окрестностью значения 
Так, например, при 
имеем 
при 
имеем 
Вообще: если 
есть некоторое положительное число, то, как бы мало оно ни было, разность между 
и 1 будет меньше чем 
если только расстояние точки х от точки 0 меньше числа 
В самом деле, если 
то
Аналогия с нашим определением предела последовательности полная. На стр. 337 мы дали определение: последовательность 
имеет предел а при 
стремящемся к бесконечности, если каждому положительному числу 
как бы мало оно ни было, можно поставить в соответствие такое целое 
(зависящее от 
), что неравенство
выполняется для всех 
удовлетворяющих неравенству
В случае функции 
непрерывного переменного х при х, стремящемся к некоторому конечному значению 
мы просто слова «достаточно большое 
(что характеризуется числом 
заменяем словами «достаточно близко к 1» (что характеризуется числом 
и приходим к следующему определению предела при непрерывном приближении, впервые данному Коши около 
функция 
имеет предел а, когда х стремится к значению 
если каждому положительному числу 
как бы мало оно ни было, можно поставить в соответствие такое положительное число 5 (зависящее от 
), что
для всех значений 
удовлетворяющих неравенству
Если это имеет место, принято писать:
мы выше показали, что эта функция 
имеет предел 1 при х, стремящемся к значению 
. В этом случае достаточно было всегда выбирать 
