§ 3. Пределы при непрерывном приближении

1. Введение.

Общие определения. В § 2, пункт 1, нам удалось дать точное определение утверждению: «последовательность (т. е. функция целого переменного ) имеет предел а при стремящемся к бесконечности». Теперь мы дадим соответствующее определение утверждению: «функция непрерывной переменной х имеет предел а при стремлении х к значению

В интуитивной форме понятие предела при непрерывном приближении независимого переменного х употреблялось уже в § 1, пункт 5, когда нужно было установить, непрерывна ли рассматриваемая функция в данной точке.

Рис. 168.

Начнем опять с частного примера. Функция определена для всех значений х, неравных нулю; при этом последнем значении х знаменатель уничтожается. Если мы вычертим график функции для значений х в окрестности точки 0, то станет очевидным, что при х, «стремящемся» к 0 с любой стороны, соответствующие значения «стремятся» к пределу 1. Для того чтобы дать точное описание этого факта, найдем явную формулу разности Между значением функции и постоянного числа 1:

Если мы условимся рассматривать лишь значения х, близкие к 0, но не Равные самому нулю (для которого функция даже не определена), Мы можем разделить числитель и знаменатель на и получить более Простую формулу

Ясно, что эту разность мы можем сделать сколь угодно малой, ограничивая изменение переменной х достаточно малой окрестностью значения Так, например, при имеем при имеем Вообще: если есть некоторое положительное число, то, как бы мало оно ни было, разность между и 1 будет меньше чем если только расстояние точки х от точки 0 меньше числа

В самом деле, если то

Аналогия с нашим определением предела последовательности полная. На стр. 337 мы дали определение: последовательность имеет предел а при стремящемся к бесконечности, если каждому положительному числу как бы мало оно ни было, можно поставить в соответствие такое целое (зависящее от ), что неравенство

выполняется для всех удовлетворяющих неравенству

В случае функции непрерывного переменного х при х, стремящемся к некоторому конечному значению мы просто слова «достаточно большое (что характеризуется числом заменяем словами «достаточно близко к 1» (что характеризуется числом и приходим к следующему определению предела при непрерывном приближении, впервые данному Коши около функция имеет предел а, когда х стремится к значению если каждому положительному числу как бы мало оно ни было, можно поставить в соответствие такое положительное число 5 (зависящее от ), что

для всех значений удовлетворяющих неравенству

Если это имеет место, принято писать:

В случае функции мы выше показали, что эта функция имеет предел 1 при х, стремящемся к значению . В этом случае достаточно было всегда выбирать