§ 5. Применения

1. Предварительные замечания.

После введения бесконечно удаленных элементов уже нет необходимости явно оговаривать все исключительные случаи параллельности, возникающие при построениях и доказательствах теорем. Достаточно помнить, что если точка является бесконечно удаленной, то все проходящие через нее прямые параллельны. Отпадает и необходимость делать различие между центральной и параллельной проекциями, так как параллельная проекция есть не что иное, как проекция из бесконечно удаленной точки. На рис. 72 точка О или прямая могут оказаться бесконечно удаленными (рис. 85

Рис. 85. Дезаргова конфигурация с центром в бесконечности

изображает первый из упомянутых случаев); мы предоставляем читателю в качестве упражнения сформулировать в «финитных» (т. е. не содержащих упоминания о бесконечности) терминах соответствующие утверждения дезарговой теоремы.

Не только формулировка, но и доказательство теоремы, принадлежащей проективной геометрии, нередко упрощаются в результате введения бесконечно удаленных элементов. Общий принцип заключается в следующем. Условимся под «проективным классом» некоторой геометрической фигуры понимать класс всех фигур, в которые может быть переведена проективными преобразованиями. Проективные свойства ничем не отличаются от проективных свойств любой фигуры ее проективного класса, так как — по самому определению — проективные свойства сохраняются при проектировании. Таким образом, любая проективная теорема (т. е. теорема, говорящая только о проективных свойствах), которая верна для фигуры будет также верна для любого «представителя» проективного класса этой фигуры, и обратно. Поэтому, чтобы доказать такую теорему для достаточно доказать ее для некоторого «представителя» проективного класса Мы можем воспользоваться указанным обстоятельством и выбрать такого «представителя», для которого доказательство проще, чем для самой фигуры Например, произвольные две точки плоскости могут быть спроектированы в бесконечность из данного центра О, если проектировать на плоскость, параллельную плоскости, проходящей через точки прямые, проходящие через А или через В, при этом превратятся в семейства параллельных прямых. Именно такое предварительное преобразование мы выполним при доказательстве проективных теорем, которыми займемся в этом параграфе.

Рис. 86. Подобие треугольников, образованных параллельными прямыми

В дальнейшем нам придется воспользоваться следующим обстоятельством, относящимся к параллельным прямым. Пусть две прямые, проходящие через точку О, пересекаются прямыми и 12, в точках А, В, С, D, как показано на рис. 86. Если прямые и 12 параллельны, то обратно, если выполнено последнее соотношение, то прямые и параллельны. Доказательство, вытекающее из элементарных свойств подобных треугольников, предоставляется читателю.

Рис. 87. Доказательство теоремы Дезарга