§ 6. Показательная (экспоненциальная) функция и логарифм

Концепции анализа предоставляют возможность построить гораздо более полную теорию логарифма и показательной функции, чем это делает та элементарная процедура, которая лежит в основе обычного преподавания в школе. Там обычно отправляются от целых степеней положительного числа а, а затем определяют корень получая, таким образом, значения при любом рациональном показателе Затем значение степени при иррациональном х определяется так, что должна быть непрерывной функцией от деликатный вопрос, обыкновенно опускаемый в элементарном изложении. Наконец, логарифмом числа у при основании а называется функция, обратная по отношению к показательной функции

В последующем изложении теории этих функций, построенном на основах анализа, ход мыслей — противоположный. Мы начнем с логарифма, а затем придем к показательной функции.

1. Определение и свойства логарифма. Эйлерово число е.

Определим логарифм, или, точнее говоря, «натуральный логарифм» (его связь с обычным десятичным логарифмом будет установлена в пункте 2), как площадь под кривой в пределах от до или, что сводится к тому же, как следующий интеграл:

(см. рис. 5, стр. 56). Здесь переменная может быть любым положительным числом. Нуль исключается потому, что при стремлении и к нулю функция, стоящая под интегралом, становится бесконечной.

Естественно заняться изучением функции Мы знаем, что первообразная функция по отношению к любой степени представляет собой функцию того же типа, так как равна исключительной является степень В этом последнем случае знаменатель превратился бы в нуль, и формула (4) стр. 499 потеряла бы смысл. Таким образом, можно ожидать, что изучение интеграла от функции или приведет к новому (и интересному) типу функции.

Хотя мы и принимаем формулу (1) за определение функции однако мы не «знаем» самой функции, пока не установим ее свойств и не найдем способов находить ее числовые значения. Нужно заметить, что для современных методов в анализе очень характерно то, что мы отправляемся от общих понятий — таких, как площадь или интеграл, и на основе этих понятий, далее, устанавливаем определения, подобные (1); затем выводим свойства определяемых объектов и лишь в конце концов, приходим к явным выражениям, позволяющим вычислять их числовые значения.

Первое важное свойство функции непосредственно следует из основной теоремы § 5. Согласно этой теореме справедливо равенство

Из формулы (2) следует, что производная всегда положительна, а это указывает, очевидно, на то, что функция монотонно возрастает при возрастании

Главное свойство логарифма выражается формулой

Значение этой формулы в практических применениях логарифмов к числовым выкладкам хорошо известно. Формулу (3) можно было бы получить интуитивно, воспользовавшись площадями, определяющими три величины, а именно: Но мы предпочтем развернуть доказательство, типичное для анализа: наряду с функцией рассмотрим другую функцию

полагая где а — произвольная положительная постоянная. Функцию можно легко продифференцировать с помощью

правила е) из Вследствие формулы (2) и поскольку это выражение принимает вид

Итак, функция имеет ту же производную, что и функция раз так, то, согласно сказанному на стр. 496, мы имеем тождество

где с есть постоянная, не зависящая от значения переменной х. Константа с определяется с помощью простой подстановки последнем равенстве. Из определения (1) следует, что

(так как интеграл, взятый в качестве определения, при значении имеет равные верхний и нижний пределы). Теперь мы можем написать

т. е. а, а потому при любом х справедливо тождество

Полагая мы получим, наконец, искомую формулу (3).

В частности, при мы найдем последовательно, что и далее

Из равенств (4) можно заключить, что при неограниченном возрастании х значения функции также возрастают неограниченно. Достаточно заметить, например, что

причем правая часть, очевидно, неограниченно возрастает вместе с и вспомнить, что было установлено свойство монотонного возрастания функции Далее, мы имеем

так что

Наконец, справедливо равенство

при любом рациональном показателе самом деле, полагая мы получаем

откуда следует

Поскольку есть монотонная и непрерывная функция от х, принимающая значение 0 при и стремящаяся к бесконечности при неограниченном возрастании х, должно существовать некоторое число х, большее чем единица, и такое, что для него будет иметь место равенство Следуя Эйлеру, обозначим это число буквой (Тождественность этого определения с определением, данным на стр. 345, будет доказана позднее.) Итак, число определено уравнением

Мы ввели число опираясь на свойство непрерывных функций, обеспечивающее существование корня этого уравнения. Теперь мы продолжим наше изыскание, чтобы как следствие получить явные формулы, позволяющие вычислить с какой угодно точностью.