§ 4. Точное определение непрерывности

В § 1, пункт 5, мы ввели следующее определение непрерывности функции: функция непрерывна в точке если при стремлении величина стремится к пределу, равному Если мы проанализируем эту формулировку, то увидим, что она подразумевает выполнение следующих двух требований:

a) существует предел а функции при стремлении переменной х к пределу х,

b) этот предел а должен быть равен

Если в определении предела на стр. 352 мы подставим вместо а его значение то условие непрерывности принимает следующий вид: функция непрерывна при если, как бы мало ни было

положительное число можно подобрать такое положительное число (зависящее от ), что неравенство

будет выполнено для всех х, удовлетворяющих условию

(ограничение введенное в определении предела, здесь излишне, поскольку неравенство при удовлетворяется автоматически).

В качестве примера постараемся установить непрерывность функции скажем, в точке Мы имеем

Выберем теперь маленькое положительное число например, Мы должны показать, что, ограничивая значения х числами, достаточно близкими к 0, получим соответствующие значения функции отличающиеся от 0 меньше, чем на т. е. заключенные между и Мы сразу видим, что значения не выйдут из этих границ, если мы ограничим изменение х значениями, отличающимися от 0 меньше чем на самом деле, если то Совершенно так же мы можем взять вместо любое меньшее значение числа будут удовлетворять нашему требованию, так как из неравенства следует неравенство

Основываясь на определении непрерывности с помощью можно доказать аналогично, что все полиномы, рациональные функции и тригонометрические функции непрерывны в любой точке, за исключением, может быть, тех изолированных значений х, около которых функции становятся бесконечными.

Связывая определение непрерывности с графиком функции можно придать ему следующую геометрическую форму. Выберем некоторое положительное число и начертим прямые, параллельные оси х на высоте над ней. Тогда должно найтись такое положительное число что вся часть графика, лежащая внутри

Рис. 170. Функция, непрерывная в точке

Рис. 171. Функция имеет разрыв в точке

вертикальной полоски шириной в около содержится также и в горизонтальной полоске шириной в около Рис. 170 показывает функцию, непрерывную в точке в то время как рис. 171 показывает функцию, имеющую разрыв в этой точке. В последнем случае, как бы узка ни была вертикальная полоска около она всегда будет содержать часть графика, лежащую вне горизонтальной полоски ширины

Если я утверждаю, что данная функция непрерывна в точке то это значит, что я беру на себя по отношению к вам следующие обязательства: вы можете выбрать любое положительное число сколь угодно малое, но определенное. Тогда я обязуюсь подыскать такое положительное число 5, чтобы неравенство <5 влекло за собой неравенство

Но при этом я не обязуюсь найти такое число 5, которое подошло бы ко всякому которое вы назовете потом: мой выбор 5 зависит от вашего выбора Если вы можете выбрать хоть одно для которого я не смогу подобрать подходящего 5, то моя игра проиграна — мое утверждение опровергнуто. Для того чтобы доказать, что я могу выполнить мое обязательство в конкретном случае некоторой функции мне нужно построить явно такую положительную функцию

определенную для всякого положительного числа для которой я могу доказать, что из неравенства следует всегда неравенство

В случае функции при функцией была

Упражнения.

(см. скан)

Теперь становится ясным, что определение непрерывности с помощью не находится в противоречии с тем, что мы могли бы назвать «наблюдаемыми фактами», относящимися к функциям. Таким образом, оно соответствует основному принципу современной науки, который выдвигает в качестве критерия полезности некоторого понятия или «существования» явления (в научном смысле) возможность непосредственно его наблюдать (по крайней мере в принципе) или сводить его к фактам, доступным наблюдению.