Дополнение к главе VIII

§ 1. Вопросы принципиального порядка

1. Дифференцируемоеть.

Понятие производной от некоторой функции мы связывали с интуитивным представлением о касательной к графику этой функции. Но так как общая концепция функции чрезвычайно широка, то в интересах логической законченности необходимо уничтожить эту зависимость от геометрической интуиции. В самом деле, мы ведь не гарантированы от того, что интуитивные свойства, бросающиеся в глаза при рассмотрении простых кривых, подобных кругу или эллипсу, не исчезнут для графиков более сложных

Рис.

Рис. 283.

Рис. 284.

функций. Рассмотрим, например, функцию, изображенную на рис. 282, график которой имеет угловую точку.

Эта функция определяется уравнением где символом обозначается абсолютная величина иными словами,

Другим примером такого рода может служить функция а также функция Графики этих функций в некоторых точках перестают иметь определенную касательную, т. е. определенное направление; это значит, что функция в соответствующих точках х не имеет производной.

Упражнения.

1) Построить (т. е. записать с помощью конкретных аналитических выражений) функцию график которой есть половина правильного шестиугольника.

2) Где расположены угловые точки графика

Каковы точки разрыва производной

В качестве простого примера недифференцируемости уже иного типа приведем функцию

получаемую посредством умножения функции (см. стр. 328) на множитель положим, по определению, что при Эта

Рис. 285.

функция, график которой для положительных значений переменного х изображен на рис. 285, непрерывна в каждой точке. График осциллирует бесконечно часто в окрестности точки причем «волны» становятся бесконечно малыми, если мы приближаемся к нулю. Наклон этих волн дается формулой

(пусть читатель проверит это в качестве упражнения): при стремлении х к нулю этот наклон осциллирует между все возрастающими положительной и отрицательной границами. Мы можем сделать попытку найти производную в точке переходя к пределу при в разностном отношении

Но при это разностное отношение осциллирует между и не стремится ни к какому пределу, следовательно, функция не может быть продифференцирована в точке

Эти примеры указывают на трудности, внутренне присущие самому вопросу. Вейерштрасс удивительно ярко иллюстрировал положение вещей, построив непрерывную функцию, график которой не имеет производной ни в одной точке. В то время как дифференцируемость влечет за собой непрерывность, непрерывность, как показывает этот пример, отнюдь не влечет за собой дифференцируемости; в самом деле, функция Вейерштрасса всюду непрерывна, а вместе с тем нигде не дифференцируема. На практике трудности такого рода не встретятся. Обычно встречающиеся кривые являются «гладкими» (за исключением разве только отдельных изолированных точек), т. е. дифференцирование не только возможно, но даже сама производная является непрерывной. Что же в таком случае может нам помешать просто сделать оговорку, что никакие «патологические» явления не будут фигурировать и задачах, подлежащих нашему рассмотрению? Именно так и поступают в анализе те, кому приходится иметь дело только с дифференцируемыми

функциями. В главе VIII мы провели дифференцирование обширного класса функции и тем самым доказали их дифференцируемость.

Поскольку дифференцируемость функции не есть логическая неизбежность, она — с математической точки зрения — должна быть или постулирована или доказана. В таком случае само понятие о касательной или о направлении кривой (первоначальный источник идеи производной) ставится в зависимость от чисто аналитического определения производной: если функция дифференцируема, т. е. если разностное отношение имеет единственный предел при стремлении к нулю с обеих сторон, то принято говорить, что соответствующая кривая имеет касательную с наклоном Таким образом, наивная позиция Ферма, Лейбница и Ньютона в современном анализе вывернута наоборот — в интересах логической стройности.

Упражнения.

(см. скан)

2. Интеграл.

Совершенно подобным является положение с интегралом от непрерывной функции Вместо того чтобы «площадь под кривой» принимать как величину, объективно существующую и которую a posteriori можно выразить с помощью предела последовательности конечных сумм, этот предел в анализе принимают в качестве определения интеграла. Эта концепция интеграла образует первичную основу, из которой затем выводится понятие площади. Мы вынуждены стать на эту точку зрения вследствие сознания того, что геометрическая интуиция обладает известной расплывчатостью, когда она применяется к таким общим аналитическим понятиям, как непрерывная функция. Мы начнем с построения суммы

где точки деления промежутка интегрирования, приращение переменной х, или длина частного промежутка, произвольное значение переменного х в этом частном промежутке, т. е. (мы можем взять, например, или

Далее, мы образуем последовательность подобных сумм, в которых число частных промежутков возрастает, причем длина минимального частного промежутка стремится к нулю. Тогда справедливо следующее основное положение: сумма составленная для данной непрерывной функции стремится к некоторому определенному пределу А, не зависящему от способа разбиения промежутка интегрирования и от выбора точек По определению, этот предел есть интеграл Конечно, существование этого предела должно быть аналитически доказано, если мы не хотим ссылаться на интуитивное геометрическое представление площади. Это доказательство приводится в каждом руководстве анализа, учитывающем требования математической строгости.

Сравнение дифференцирования и интегрирования приводит нас к следующему противопоставлению. Свойство дифференцируемости, несомненно, налагает ограничительное условие на класс всех непрерывных функций; вместе с тем фактическое выполнение операции дифференцирования сводится на практике к процедурам, основанным лишь на нескольких простых правилах. В противоположность этому, каждая непрерывная функция без исключения интегрируема, так как обладает интегралом между любыми двумя данными пределами. Однако прямое вычисление интегралов, понимаемых как пределы сумм, даже в случае самых простых функций, вообще говоря, дело очень трудное. Но тут-то и оказывается, что основная теорема анализа со многих случаях становится решающим орудием при осуществлении интегрирования. И все же для большей части функций, в том числе даже для некоторых совершенно элементарных, интегрирование не дает простых явных выражений, и числовые выкладки для интегралов требуют более продвинутых методов.