4. Модель Пуанкаре.
Математик волен видеть «геометрию» во всякой непротиворечивой системе аксиом, говорящих о «точках», «прямых» и т. д.; но его исследования только в том случае будут полезны
Рис. 112. Модель неевклидовой плоскости Пуанкаре
для физика, если система аксиом находится в соответствии с поведением физических объектов в реальном мире. Мы хотели бы теперь, с этой точки зрения, разобраться в смысле утверждения: «Свет распространяется по прямой линии». Если в этом утверждении содержится физическое определение «прямой линии», то систему геометрических аксиом следует выбирать таким образом, чтобы получилось соответствие с поведением световых лучей. Вообразим, следуя Пуанкаре, что мир состоит из внутренности круга С и что во всякой точке скорость света пропорциональна расстоянию точки от окружности. Можно тогда доказать, что свет будет распространяться по круговым дугам, образующим прямые углы с окружностью С. В таком мире геометрические свойства «прямых линий» (определенных как световые лучи) будут отличаться от свойств евклидовых прямых. В частности, не будет евклидовой аксиомы параллельности, так как через данную точку пройдет бесчисленное множество «прямых линий», не пересекающихся с данной «прямой линией». Можно обнаружить, что «точки» и «прямые линии» в описываемом мире будут обладать в точности теми же свойствами, какими обладают «точки» и «прямые» на модели Клейна. Другими словами, мы получили новую модель гиперболической геометрии. Но евклидову геометрию также можно применять в этом мире: тогда выйдет, что световые лучи, которые уже не будут неевклидовыми «прямыми линиями», распространяются по кругам, перпендикулярным к окружности С. Таким образом, одна и та же физическая ситуация способна быть описанной различными геометрическими системами, если предположить, что физические объекты (в нашем случае — световые лучи) связаны с различными понятиями в этих системах:
Рис. 113. «Прямые линии» в геометрии Римана
Световой луч -> «прямая линия» — гиперболическая геометрия
Световой луч -> «окружность» — евклидова геометрия.
Так как в евклидовой геометрии понятие прямой линии сопоставляется с поведением светового луча в однородной среде, то, говоря, что
геометрия в описании мира внутри С гиперболическая, мы утверждали бы только то, что физические свойства световых лучей в этом мире те же самые, что и свойства «прямых» гиперболической геометрии.
