4. Разрывные функции как предел непрерывных.
Будем рассматривать такие последовательности 
в которых члены 
не постоянные числа, а функции некоторой переменной 
именно 
Если только такая последовательность сходящаяся, то ее предел также есть функция 
Такого рода представления функции 
в виде предела других функций часто бывают полезны, так как «более сложные» функции таким образом приводятся к «более простым».
В частности, это обнаруживается при рассмотрении некоторых явных формул, определяющих функции с разрывами. Рассмотрим, например, последовательность 
При 
мы получаем 
так что 
. С другой стороны, при 
мы имеем 
наконец, при 
получается 
и, следовательно, 
. В итоге
Мы видим, что прерывная функция 
представлена как предел последовательности непрерывных рациональных функций.
Другой интересный пример в таком же роде дается последовательностью
При 
все функции 
обращаются в нуль, и потому 
При х выражение 
положительно и меньше,
сходится при 
Предел, т. е. сумма бесконечной прогрессии, равен 
Итак, 
стремится к функции 
при 
при 
Получается функция 
с устранимым разрывом в точке 
