Главная > Что такое математика?
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4. Разрывные функции как предел непрерывных.

Будем рассматривать такие последовательности в которых члены не постоянные числа, а функции некоторой переменной именно Если только такая последовательность сходящаяся, то ее предел также есть функция

Такого рода представления функции в виде предела других функций часто бывают полезны, так как «более сложные» функции таким образом приводятся к «более простым».

В частности, это обнаруживается при рассмотрении некоторых явных формул, определяющих функции с разрывами. Рассмотрим, например, последовательность При мы получаем так что . С другой стороны, при мы имеем наконец, при получается и, следовательно, . В итоге

Мы видим, что прерывная функция представлена как предел последовательности непрерывных рациональных функций.

Другой интересный пример в таком же роде дается последовательностью

При все функции обращаются в нуль, и потому При х выражение положительно и меньше,

чем 1, и потому теория геометрической прогрессии позволяет утверждать, что сходится при Предел, т. е. сумма бесконечной прогрессии, равен Итак, стремится к функции при при Получается функция с устранимым разрывом в точке

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление