§ 3. Стационарные точки и дифференциальное исчисление

1. Экстремальные и стационарные точки.

В предшествующих рассуждениях мы совсем не пользовались техническими приемами дифференциального исчисления.

Трудно не признать, что наши элементарные методы являются более простыми и более прямыми, чем методы анализа. Вообще, занимаясь той или иной научной проблемой, лучше исходить из ее индивидуальных особенностей, чем полагаться исключительно на общие методы, хотя, с другой стороны, общий принцип, уясняющий смысл применяемых специальных процедур, конечно, всегда должен играть руководящую роль. Таково именно значение методов дифференциального исчисления при рассмотрении экстремальных проблем. Наблюдаемое в современной науке стремление к общности представляет только одну сторону дела, так как то, что в математике является подлинно жизненным, без всякого сомнения обусловливается индивидуальными чертами рассматриваемых проблем и применяемых методов.

В своем историческом развитии дифференциальное исчисление в весьма значительной степени испытало воздействие индивидуальных проблем, связанных с разысканием наибольших и наименьших значений величин. Связь между экстремальными проблемами и дифференциальным исчислением можно уяснить себе следующим образом. В главе VIII мы займемся обстоятельным изучением производной от функции и ее геометрического смысла. Там мы увидим, что, говоря кратко, производная есть наклон касательной к кривой в точке Геометрически очевидно, что в точках максимума или минимума гладкой кривой касательная к кривой непременно должна быть горизонтальной, т. е. наклон должен

Рис. 191. Стационарные точки функции

равняться нулю. Таким образом, мы получаем для точек экстремума условие

Чтобы отдать себе ясно отчет в том, что означает обращение в нуль производной рассмотрим кривую, изображенную на рис. 191. Мы видим здесь пять точек в которых касательная к кривой горизонтальна; обозначим соответствующие значения в этих точках через Наибольшее значение (в пределах области, изображенной на чертеже) достигается в точке наименьшее — в точке А. В точке В имеется максимум — в том смысле, что во всех точках некоторой окрестности точки В значение меньше, чем хотя в точках, близких к значение все же больше, чем По этой причине принято говорить, что в точке В имеется относительный максимум функции тогда как в точке абсолютный максимум. Точно так же в точке С имеет место относительный минимум, а в точке А — абсолютный минимум. Наконец, что касается точки Е, то в ней нет ни максимума, ни минимума, хотя в ней все же осуществляется равенство Отсюда следует, что обращение в нуль производной есть необходимое, но никак не достаточное условие для появления экстремума гладкой функции другими словами, во всякой точке, где имеется экстремум (абсолютный или относительный), непременно имеет место равенство но не во всякой точке, где обязан быть экстремум. Те точки, в которых производная обращается в нуль, — независимо от того, имеется ли в них экстремум, — называются стационарными. Дальнейший анализ приводит к более или менее сложным условиям, касающимся высших производных функции и полностью характеризующим максимумы, минимумы и иные стационарные точки.

Рис. 192. Горный перевал

Рис. 193. Соответствующая карта с линиями уровня