3. Арифметические действия в недесятичных системах счисления.

Исключительная роль десятка восходит к истокам цивилизации и без всякого сомнения связана со счетом по пальцам на двух руках. Но наименования числительных в разных языках указывают и на наличие (в былые времена) иных систем счисления, именно с основаниями двадцать и двенадцать. В английском и немецком языках слова, обозначающие 11 и 12, построены не по десятичному принципу, сочетающему десятки с единицами: они лингвистически независимы от слов, обозначающих число 10. Во французском языке слова, обозначающие 20 и 80, позволяют предполагать о первоначальном существовании системы с основанием 20, используемой для тех или иных надобностей. В датском языке слово halvfirsindstyve, обозначающее 70, буквально переводится «пол пути от трижды двадцать до четырежды двадцать». Вавилонские астрономы пользовались системой, частично шестидесятеричной структуры (с основанием 60), и предполагается, что именно в этом обстоятельстве следует искать объяснение того факта, что час и угловой градус подразделены на 60 минут.

В недесятичных системах счисления правила арифметики, конечно, те же самые, но таблицы сложения и умножения однозначных чисел отличны от наших десятичных. Будучи приучены к десятичной системе и связаны наименованиями числительных в нашем языке, мы, если попытаемся считать по иным системам, сначала испытаем известное неудобство. Попробуем поупражняться в умножении по семиричной

системе. Прежде чем приступить к этому, рекомендуется выписать две таблички, которыми придется пользоваться.

Станем теперь умножать 265 на 24, причем эти числа предполагаются написанными в септимальной системе. (Если написать числа по десятичной системе, то речь идет об умножении 145 на 18.) Начнем с умножения 5 на 4, что дает 26, как показывает таблица умножения.

Мы пишем 6 на месте единицы, затем переносим двойку в следующий разряд. Далее, находим, что и что Пишем в произведении 5 и продолжаем таким же образом, пока умножение не закончится. При сложении чисел 1456 и 5630 на месте единиц получаем затем на месте семерок Пишем 1 и 1 переносим на место «сорокадевяток», где получается Окончательный результат:

Для проверки проделаем то же действие в десятичной системе. Чтобы переписать число 10 416 по десятичной системе, придется найти степени 7 вплоть до четвертой: Отсюда следует, что причем правая часть равенства написана уже по десятичной системе. Складывая числа, мы находим, что число 10416, написанное по септимальной системе, равно числу 2610, написанному по десятичной. Умножим теперь 145 на 18 в десятичной системе: получается как раз 2 610, и проверка «сошлась.

Упражнения.

(см. скан)

(см. скан)

Упражнение. Исследуйте в общем виде вопрос о представлении чисел в системе с основанием . Чтобы называть числа в этой системе, нужны наименования для однозначных чисел и для различных степеней Сколько именно числительных потребуется, чтобы назвать все числа до одной тысячи в системах с основанием Каково должно быть основание , чтобы число этих имен числительных было наименьшим? (Примеры: если то нужно десять числительных для однозначных чисел. Затем еще три числительных, обозначающих 10, 100 и 1000,

всего . При нужно двадцать числительных для однозначных чисел и еще числительные для 20 и 400; всего — 22. При понадобится 101 числительное.)