§ 3. Неразрешимость трех классических проблем

1. Удвоение куба.

Теперь мы уже достаточно подготовлены к исследованию проблем древности: трисекции угла, удвоения куба и построения правильного семиугольника. Рассмотрим прежде всего проблему удвоения куба.

Если данный куб имеет ребро, равное единице, его объем будет равен кубической единице; требуется найти ребро куба, объем которого вдвое больше. Итак, искомое ребро удовлетворяет простому кубическому уравнению

Наше доказательство невозможности построения числа с помощью только циркуля и линейки будет носить «косвенный» характер. Допустим, что такое построение возможно. Тогда, согласно полученным выше результатам, число должно принадлежать некоторому полю полученному так, как было объяснено раньше из рационального поля посредством последовательного «присоединения» квадратных корней. Мы сейчас убедимся в том, что такое допущение приведет к противоречию.

Мы уже знаем, что число не может принадлежать рациональному полю так как есть число иррациональное (см. упражнение 1 на стр. 91). Значит, придется допустить, что оно принадлежит одному из расширенных полей где k — целое положительное число. Мы имеем право допустить, что к есть наименьшее из таких целых чисел, т.е. что принадлежит к но не принадлежит к Это значит, что имеет вид

где принадлежат какому-то полю но ему не принадлежит. Основываясь, далее, на довольно простом алгебраическом рассуждении (подобные рассуждения приходится применять нередко), мы убедимся, что если есть решение уравнения (1), то есть также его решение. Так как принадлежит полю то тоже принадлежат и, значит,

где а и 6 принадлежат Нетрудно подсчитать, что Если положим

то сразу видно, что

Так как мы предположили, что есть корень уравнения (1), то

Но из последнего равенства следует (это основной момент что оба числа а и равны нулю. Действительно, если бы было отлично от нуля, то из (3) получилось бы равенство это противоречит допущению, что не принадлежит полю Итак, и тогда из (3) следует, что Но раз мы установили, что то уже из равенства (2) немедленно вытекает, что есть решение уравнения (1), так как Далее, т. е. так

как число могло бы обращаться в нуль только при а в этом случае принадлежало бы полю чего мы не предполагали.

Мы установили, что если есть корень кубического уравнения (1), то есть другой, не равный ему корень того же уравнения. Но это немедленно приводит к противоречию: есть, очевидно, действительное число, так как числа действительные, уравнение же (1) имеет только один действительный корень, а два — мнимых (см. стр. 134).

Наше первоначальное допущение привело к противоречию, значит, оно ошибочно, поэтому корень уравнения (1) не может принадлежать никакому полю Итак, удвоение куба с помощью только циркуля и линейки невозможно.