§ 7. Существование экстремума. Принцип Дирихле

1. Общие замечания.

В некоторых из рассмотренных нами экстремальных проблем прямо доказывалось, что решение дает наилучший результат из числа прочих возможных. Ярким примером является принадлежащее Шварцу решение задачи о треугольнике: здесь сразу видно, что никакой вписанный треугольник не может иметь меньший периметр, чем высотный треугольник. Некоторые примеры такого же типа связаны с явно написанными неравенствами, каково, например, неравенство между средними арифметическим и геометрическим. Но при решении других проблем мы шли по иному пути. Мы допускали

прежде всего, что решение уже найдено, и затем, анализируя это допущение, получали заключения, иногда позволяющие дать полную характеристику решения и выполнить соответствующее его построение. Так именно обстояло дело с проблемой Штейнера и таков же был план второго решения проблемы Шварца. Названные два метода логически различны. Первый метод, пожалуй, можно считать более совершенным, так как он дает конструктивное доказательство правильности результата. Второй метод, если судить по примеру проблемы Шварца (второе решение), кажется более простым. Но он является не прямым, а косвенным и, самое главное, он условен по самой своей структуре, так как предполагает существование решения. Он приводит к окончательному результату лишь постольку, поскольку существование решения или постулировано, или доказано. Без этой предпосылки он показывает всего-навсего, что если решение существует, то оно обладает такими-то свойствами.

Вследствие кажущейся очевидности предпосылки о существовании решения математики вплоть до конца прошлого столетия не обращали особенного внимания на указанное логическое обстоятельство и допускали существование решения экстремальных проблем как нечто само собой разумеющееся. Некоторые из величайших ученых XIX в. — Гаусс, Дирихле, Риман — основывали некритически на такого рода допущении глубокие и иначе трудно доказуемые предложения в области математической физики и теории функций. Кризис наступил вскоре после того, как Риман в 1849 г. опубликовал свою докторскую диссертацию, посвященную основаниям теории функций комплексного переменного. Эта сжато написанная работа, представляющая собой один из величайших подвигов математической мысли в новейшую эпоху, была до такой степени неортодоксальной в трактовке вопроса, что многие предпочли попросту ее игнорировать. Вейерштрасс в то время был уже знаменитым профессором Берлинского университета и пользовался репутацией основателя строго построенной теории функций. Вначале пораженный, но все же исполненный сомнений, он вскоре обнаружил в работе Римана логическую брешь, о восполнении которой сам автор не позаботился. Уничтожающая критика Вейерштрасса не поколебала уверенности Римана в справедливости полученных им результатов, но долгое время его теория не пользовалась признанием. Головокружительная научная

карьера Римана вскоре внезапно оборвалась: он умер от туберкулеза. Все же его идеи поддерживались и дальше несколькими убежденными и преданными учениками. Только через пятьдесят лет после появления диссертации Римана Гильберту удалось, наконец, открыть пути, приводящие к исчерпывающему ответу на все вопросы, оставленные в стороне и неразрешенные Риманом. Начатое Риманом и развернувшееся во второй половине столетия развитие математических теорий, глубоко проникающих в область физики, представляет одну из самых блестящих страниц в истории современной науки.

Уязвимое место в работе Римана — как раз вопрос о существовании минимума. Свою теорию Риман основывает на принципе Дирихле (так он сам его назвал по имени своего учителя: Дирихле, читая лекции в Гёттингене, пользовался этим принципом, но ни в одной из своих работ о нем не писал). Предположим, для большей определенности, что некоторая часть плоскости или какой-нибудь поверхности покрыта слоем станиоля и что стационарный электрический ток проходит по слою, соединенному в двух точках с полюсами батареи. Нет сомнений, что такой эксперимент приведет к некоторому однозначно определенному распределению токов. Но как обстоит дело с соответствующей математической проблемой — проблемой, имеющей первостепенное значение в теории функций и в других областях? В теории электричества рассматриваемое нами физическое явление описывается как «дифференциальное уравнение в частных производных с граничными условиями». Именно эта математическая проблема нас и интересует; возможность ее решения кажется правдоподобной именно по той причине, что мы допустили ее эквивалентность физическому явлению; но математическое доказательство этой возможности никоим образом не может базироваться на сделанном допущении. В подходе Римана к решению рассматриваемого им математического вопроса можно различить два этапа. Во-первых, он показывает, что проблема эквивалентна некоторой минимальной проблеме: некоторая величина, выражающая энергию потока электричества, минимизируется некоторыми реально осуществляющимся потоком (по сравнению с иными потоками, совместными с предписанными граничными условиями). Во-вторых, в качестве «принципа Дирихле» он вводит постулат о том, что такого рода минимальная проблема допускает решение. Риман решительно ничего не предпринял для того, чтобы найти хоть какое-нибудь математическое оправдание для этого постулата, и именно в этом пункте его настигли атаки со стороны Вейерштрасса. Не только существование минимума само по себе не было очевидным, но, как выяснилось впоследствии,

вопрос оказался чрезвычайно тонким: математика того времени еще не была подготовлена к его решению, и только через несколько десятилетий напряженные усилия исследовательской мысли привели к законченным результатам.

2. Примеры.

Мы проиллюстрируем возникающую трудность двумя примерами.

1) Отметим на прямой две точки находящиеся на расстоянии и поставим задачу — отыскать ломаную линию кратчайшей длины, которая, выходя из точки А по направлению, перпендикулярному к заканчивалась бы в точке В. Так как прямолинейный отрезок безусловно короче всех других путей, связывающих точки то можно быть уверенным, что любой допустимый (удовлетворяющий требованиям задачи) путь имеет длину, большую, чем в самом деле, единственный путь, длина которого равна есть прямолинейный отрезок а он не удовлетворяет требованию относительно направления в точке А, т. е. не является допустимым. Рассмотрим, с другой стороны, допустимый путь на рис. 222. Заменяя точку О точкой О, расположенной ближе к А, мы можем получить новый допустимый путь, длина которого как угодно мало отличается от значит, если существует кратчайший допустимый путь, то длина его не может быть больше, чем и, следовательно, должна быть в точности равна Но мы видели, что единственный путь, имеющий такую длину, не является допустимым. Итак, кратчайшего допустимого пути не существует, и задача наша не имеет решения.

Рис. 222-223. К вопросу о существовании минимума

2) Пусть С — некоторый круг, точка, лежащая выше его центра на расстоянии 1 (рис. 223). Рассмотрим множество поверхностей, ограниченных окружностью С и проходящих через точку

при том лежащих «над» кругом С (в том смысле, что никакие две различные точки этой поверхности не могут вертикально проектироваться в одну и ту же точку круга С). Какая поверхность из рассматриваемого множества обладает наименьшей площадью? Каким бы естественным ни казался этот вопрос, положительного ответа на него дать нельзя: допустимой поверхности с наименьшей площадью не существует. Если бы поверхность не была подчинена условию проходить через точку тогда решением задачи был бы, очевидно, плоский диск, ограниченный окружностью С. Обозначим площадь этого диска через А. Всякая другая поверхность, ограниченная окружностью С, непременно имеет площадь большую, чем А. Но можно указать допустимую поверхность, площадь которой будет отличаться от А как угодно мало. В самом деле, возьмем коническую поверхность высоты, равной 1 — такую «тоненькую», чтобы ее площадь была меньше заранее назначенного маленького числа. Поместим эту поверхность посреди диска так, чтобы ее вершина попала в точку и затем рассмотрим поверхность, образованную из нашей конической поверхности и той части диска, которая окажется вне основания конуса. Совершенно ясно, что построенная таким образом поверхность, только вблизи центра диска отличающаяся от самого диска, обладает площадью, превосходящей А меньше, чем на заранее назначенное число. Так как это последнее число может быть выбрано сколь угодно малым, то отсюда следует, что минимум площади (если он существует) не может отличаться от площади диска А. Но среди поверхностей, ограниченных контуром С, только сам диск обладает площадью однако диск не проходит через точку S и, значит, не является допустимой поверхностью; следовательно, решения задачи не существует.

Мы можем избавить себя от труда приводить дальнейшие относящиеся сюда софистически утонченные примеры, указанные Вейерштрассом. Уже приведенные примеры достаточно убедительно показывают, что существование минимума не является тривиальным моментом в математическом доказательстве. Попробуем взглянуть на рассматриваемый вопрос с более отвлеченной точки зрения. Представим себе некоторый определенный класс объектов, например, кривых или поверхностей; пусть каждому объекту этого класса поставлено в соответствие — как функция этого объекта — некоторое число, например, Длина или площадь. Если в классе содержится лишь конечное число объектов, то среди соответствующих чисел неизбежно имеется наибольшее и наименьшее. Но если в классе содержится бесконечное множество объектов, то даже в том случае, если все соответствующие

числа заключены между двумя конечными границами, среди них вовсе не обязательно найдется наибольшее и наименьшее. На числовой оси множество чисел изображается в виде множества точек. Предположим, ограничившись простейшим случаем, что все числа множества положительные. Такое множество непременно имеет «нижнюю границу» — такое число а, меньше которого в нашем множестве нет ни одного числа и которое или само есть элемент множества, или как угодно мало отличается от некоторого элемента множества. Если а само принадлежит множеству, то оно является его наименьшим элементом; в противном случае множество не содержит вовсе наименьшего элемента. Например, множество чисел не содержит наименьшего элемента, так как нижняя граница 0 не принадлежит множеству. Такого рода отвлеченные примеры иллюстрируют логические трудности, связанные с проблемой существования. Математическое решение минимальной проблемы нельзя назвать исчерпывающим, если в явной или в неявной форме не устанавливается, что среди элементов числового множества, рассматриваемого в связи с проблемой, существует наименьший.