4. Геодезические линии на сфере. Минимаксы.

Во введении к этой главе была упомянута проблема нахождения «геодезических линий» — кратчайших дуг, соединяющих две данные точки на некоторой поверхности.

На сфере, как показывается в элементарной геометрии, такими линиями являются дуги больших кругов. Пусть две точки на сфере (не являющиеся диаметрально противоположными) и с — меньшая из двух дуг большого круга, проходящего через Тогда возникает вопрос: чем же является другая, большая из двух дуг с того же круга. Конечно, минимума расстояния между точками она не дает, но не дает и максимума, так как легко понять, что можно провести на сфере сколь угодно длинные дуги, соединяющие две данные точки. Оказывается, что по отношению к рассматриваемой проблеме дуга с представляет собой минимакс, «седло-вую точку». Вообразим произвольную переменную точку S на сфере и поставим задачей найти кратчайший путь от Р к проходящий через Конечно, минимум расстояния в такой постановке проблемы дается «ломаной» дугой, состоящей из двух дуг больших кругов и . А затем постараемся найти такое положение точки при котором наименьшее расстояние было бы максимальным. Тогда получаем следующее решение вопроса: точка S должна быть такова, чтобы ломаная была более длинной дугой с большого круга Можно видоизменить проблему, сначала спрашивая себя о кратчайшем пути на сфере от точки Р к точке проходящем через наперед заданных точек и затем определяя точки таким образом, чтобы минимальная длина была насколько возможно большой.

Решением такой задачи служит путь по большому кругу, проходящему через Р к но обвивающийся вокруг сферы таким образом, чтобы пройти через точки, диаметрально противоположные ровно раз.

Эта минимаксная проблема является типичным примером для обширного класса вопросов из области вариационного исчисления, с полным успехом изученных в последнее время с помощью методов, предложенных Морзом и другими авторами.