6. Производная и скорость. Вторая производная и ускорение.

До сих пор понятие производной мы связывали с геометрическим представлением графика функции. Однако было бы грубой ошибкой ограничивать роль понятия производной одной лишь задачей об

определении наклона касательной к данной кривой. Еще более важной, с научной точки зрения, задачей является вычисление скорости изменения какой бы то ни было величины меняющейся с течением времени. Именно с этой стороны Ньютон и подошел к дифференциальному исчислению. В частности, Ньютон стремился проанализировать явление скорости, рассматривая время и положение движущейся частицы как переменные величины (по выражению Ньютона, «флюэнты»). Когда некоторая частица движется вдоль оси х, то ее движение вполне определено, раз задана функция указывающая положение частицы х в любой момент времени t. «Равномерное движение» с постоянной скоростью по оси х определяется линейной функцией где а есть положение частицы в начальный момент

Движение частицы на плоскости описывается уже двумя функциями

которые определяют ее координаты как функции времени. В частности, равномерному движению соответствуют две линейные функции

где две «компоненты» постоянной скорости, а а и с — координаты начального положения частицы (при траекторией частицы является прямая линия, уравнение которой

получается путем исключения из двух стоящих выше соотношений.

Если частица движется в вертикальной плоскости х, у под действием одной лишь силы тяжести, то движение ее (это доказывается в элементарной физике) определено двумя уравнениями

где постоянные величины, зависящие от состояния частицы в начальный момент, ускорение силы тяжести, равное приблизительно 9,81, если время измеряется в секундах, а расстояние — в метрах. Траектория движения, получаемая путем исключения из двух данных уравнений, есть парабола

если только в противном случае траекторией является отрезок вертикальной оси.

Если частица вынуждена двигаться по некоторой данной кривой (подобно тому как поезд движется по рельсам), то движение ее может быть определено функцией (функцией времени равной длине дуги вычисляемой вдоль данной кривой от некоторой начальной точки до положения частицы в точке Р в момент времени Например, если речь идет о единичном круге то функция определяет на этом круге равномерное вращательное движение со скоростью с.

Упражнение. Начертить траектории плоских движений, заданных уравнениями: в описанном выше параболическом движении предположить начальное положение частицы (при в начале координат и считать Найти координаты самой высокой точки траектории. Найти время и значение х, соответствующие вторичному пересечению траектории с осью

Первой целью, которую поставил себе Ньютон, было нахождение скорости частицы, движущейся неравномерно. Рассмотрим для простоты движение частицы вдоль некоторой прямой линии, заданное функцией Если бы движение было равномерным, т. е. совершалось с постоянной скоростью, то эту скорость можно было бы найти, взяв два момента времени и соответствующие им положения частиц и составив отношение

Например, если измерено в часах, а ; в километрах, то при разность будет число километров, пройденных за 1 час, скорость (километров в час). Говоря, что скорость есть величина постоянная, имеют в виду лишь то, что разностное отношение

не изменяется при любых значениях Но если движение неравномерно (что имеет, например, место при свободном падении тела, скорость которого по мере падения возрастает), то отношение (3) не дает значения скорости в момент а представляет собой то, что принято называть средней скоростью в промежутке времени от до Чтобы получить скорость в момент нужно вычислить предел средней

скорости при стремлении Таким образом, вместе с Ньютоном определим скорость так:

Другими словами, скорость есть производная от «пройденного пути» (координаты частицы на прямой) по времени, или «мгновенная скорость изменения» пути по отношению ко времени — в противоположность средней скорости изменения, определяемой по формуле (3).

Скорость изменения самой скорости называется ускорением. Ускорение — это просто производная от производной; оно обычно обозначается символом и называется второй производной от функции

Галилейзаметил, что вертикальное расстояние х, проходимое при свободном падении тела в течение времени выражается формулой

где есть ускорение силы тяжести. Из формулы (5), путем дифференцирования ее, можно получить скорость тела в момент времени эта скорость выражается формулой

а ускорение а, которое постоянно, — формулой

Предположим, что нужно найти скорость тела через 2 секунды после начала падения. Найдем сначала среднюю скорость за промежуток времени от до :

Подставляя же в формулу (6) значение мы найдем, что значение мгновенной скорости в конце второй секунды равно 19,62 (метров в секунду).

Упражнение. Какова средняя скорость тела за промежуток времени от до от до

При движении точки на плоскости две производные двух функций определяют компоненты скорости. При движении вдоль заданной кривой скорость нужно определить как производную от функции где длина дуги.

Рис. 270-271. Вогнутость кривой