Главная > Что такое математика?
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Геометрическое построение обратных точек.

Следующая теорема будет полезна в пункте 4 этого параграфа: точка Р, обратная данной точке Р относительно окружности С, может быть построена геометрически с помощью одного только циркуля. Рассмотрим сначала тот случай, когда точка Р находится вне окружности С. Радиусом опишем круговую дугу с центром Р, пересекающую С в точках . Затем из этих точек, как центров, опишем круговые дуги радиусом равным радиусу круга С, эти дуги пересекутся в О и еще в точке Р на прямой . В равнобедренных треугольниках и

так что треугольники подобны, и потому

Значит, Р есть искомая точка Р.

Рис. 42. Удвоение отрезка

Рис. 43. Инверсия точки, внутренней относительно окружности

Если данная точка Р лежит внутри С, то построение и доказательство остаются в силе, лишь бы окружность радиуса с центром Р пересекала окружность С в двух точках. Если же пересечений не получается, то можно редуцировать построение к предыдущему случаю посредством следующего простого приема.

Прежде всего заметим, что на прямой, соединяющей две данные точки можно с помощью одного циркуля построить такую точку С, что Для этого достаточно провести окружность с центром О и радиусом Затем, начиная от точки А, отметить последовательно на этой окружности такие точки , что Тогда С есть как раз искомая точка: это ясно из того, что треугольники равносторонние, так что угол между содержит 180° и . Повторяя указанную процедуру, мы имеем возможность отложить отрезок по прямой сколько угодно раз. Кстати, так как длина отрезка равна (как читатель проверит без всякого труда), то нам удалось построить исходя из единичного отрезка, не пользуясь линейкой.

Теперь мы можем построить точку, обратную точке Р относительно окружности С, как бы точка Р ни была расположена внутри С. Прежде всего на прямой найдем такую точку что есть кратное и вместе с тем лежит уже вне С:

Для этого достаточно последовательно откладывать расстояние посредством циркуля, пока мы не выберемся из круга С. Затем с помощью уже известного построения найдем точку обратную точке Тогда будем иметь

Останется построить точку Р по условию и задача будет закончена.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление