§ 7. Задачи на построения с помощью одной линейки

В следующих построениях предполагается, что единственным инструментом служит линейка.

Задачи 1-18 заимствованы из одной работы Я. Штейнера, в которой он доказывает, что при геометрических построениях можно обойтись без циркуля, если задан фиксированный круг с центром (см. главу III, стр. 192). Читателю рекомендуется проделать эти задачи в указанном порядке.

Четверка прямых а, b, с, d, проходящих через точку Р, называется гармонической, если двойное отношение равно —1. В этом случае говорят, что гармонически сопряжены с и обратно.

1) Доказать: если в гармонической четверке а, b, с, d прямая а делит пополам угол между с и d, то прямая b перпендикулярна к прямой а.

2) Построить четвертую гармоническую к трем данным прямым, проходящим через одну точку. (Указание: воспользуйтесь теоремой о полном четырехстороннике.)

3) Построить четвертую гармоническую к трем данным точкам на одной прямой.

4) Даны прямой угол и произвольный угол с общей вершиной и одной общей стороной. Удвоить данный произвольный угол.

5) Дан угол и его биссектриса Построить перпендикуляр к b в вершине данного угла.

6) Доказать: если проходящие через точку Р прямые пересекают прямую а в точках и прямую b в точках то все точки пересечения пар прямых лежат на одной прямой.

7) Доказать: если в треугольнике прямая, параллельная стороне пересекает в точке в точке С, то прямая, соединяющая точку А с точкой пересечения прямых и делит пополам

7а) Сформулировать и доказать теорему, обратную 7.

8) На прямой I даны три такие точки что есть середина отрезка Построить прямую, параллельную I и проходящую через данную точку

9) Даны две параллельные прямые разделить пополам данный отрезок на прямой

10) Через данную точку Р провести прямую, параллельную двум данным параллельным между собой прямым и 12. (Указание: используйте 7.)

11) Штейнер предлагает следующее решение задачи об удвоении данного отрезка при условии, что задана прямая I, параллельная через точку С, не лежащую ни на прямой I, ни на прямой провести прямые пусть соответственно точки их пересечения с прямой Затем (см. 10) провести через С прямую, параллельную пусть точка ее пересечения с Если Е — точка пересечения и то

Доказать последнее утверждение.

12) Разделить отрезок на равных частей, если задана прямая I, параллельная (Указание: пользуясь 11, отложите сначала раз данный отрезок на прямой

13) Дан параллелограмм Через данную точку Р провести прямую, параллельную данной прямой (Указание: примените 10 к центру параллелограмма и воспользуйтесь 8.)

14) Дан параллелограмм; увеличить данный отрезок в раз. (Указание: примените 13 и 11.)

15) Дан параллелограмм; разделить данный отрезок на равных частей.

16) Дан неподвижный круг с центром. Провести через данную точку прямую, параллельную данной прямой. (Указание: примените 13.)

17) Дан неподвижный круг с центром. Увеличить и уменьшить данный отрезок в раз. (Указание: примените 13.)

18) Дан неподвижный круг с центром. Провести через данную точку перпендикуляр к данной прямой. (Указание: воспользуйтесь прямоугольником, вписанным в данный круг, с двумя сторонами, параллельными данной прямой, и сводите к предшествующим задачам.)

19) Пересмотрев задачи 1-18, перечислите, какие основные задачи на построение можно выполнить с помощью двусторонней линейки (с двумя параллельными сторонами).

20) Две данные прямые пересекаются в точке Р, находящейся за пределами чертежа. Построить прямую, соединяющую данную точку с точкой Р. (Указание: дополните заданные элементы таким образом, чтобы получилась конфигурация плоскостной теоремы Дезарга, причем стали бы точками пересечения взаимно соответствующих сторон двух треугольников.)

21) Провести прямую через две точки, между которыми расстояние больше, чем длина линейки. (Указание: примените 20.)

22) Прямые и 12 пересекаются в точке прямые в точке Q; обе точки за пределами чертежа. Построить ту часть прямой которая находится в пределах чертежа. (Указание: чтобы получить точку прямой постройте конфигурацию Дезарга таким образом, чтобы

две стороны одного треугольника лежали соответственно на две стороны другого — соответственно на и

23) Решить 20 с помощью теоремы Паскаля (стр. 229). (Указание: достройте конфигурацию Паскаля, рассматривая и 12 как пару противоположных сторон шестиугольника, как точку пересечения другой пары противоположных сторон.)

24) Каждая из двух прямых, целиком лежащих за пределами чертежа, задана двумя парами прямых линий, пересекающихся за пределами чертежа в точках соответствующей прямой. Определить точку их пересечения с помощью двух прямых, пересекающихся за пределами чертежа.