6. Биномиальная теорема.

Часто бывает нужно написать в раскрытом виде выражение для степени бинома Непосредственное вычисление показывает, что

и так далее. Но какой общий закон скрывается за словами «и так далее»? Проанализируем процесс вычисления Так как то мы получили выражение для умножая каждый член выражения на а, затем на и складывая то, что получилось. Ту же процедуру пришлось применить при вычислении Так же точно вычисляются и так далее

до бесконечности. Выражение для мы получим, умножая выражение сначала на а, потом на затем складывая то, что получится. Это приводит к следующей диаграмме:

позволяющей сразу разобраться в общем законе составления коэффициентов в разложении Мы строим треугольную схему из натуральных чисел, начиная с коэффициентов 1, 1 двучлена а таким образом, что каждое число в треугольнике является суммой двух чисел, стоящих над ним в предыдущей строке (слева и справа). Такая схема известна под названием треугольника Паскаля.

Коэффициенты в разложении по убывающим степеням а и возрастающим степеням стоят в строке этой схемы.

Так, например,

Пользуясь очень сжатыми обозначениями с применением нижних и верхних значков (индексов), обозначим числа, стоящие в строке треугольника Паскаля следующим образом:

Тогда общей формуле для разложения можно придать вид:

Согласно закону, лежащему в основе построения треугольника Паскаля, мы имеем соотношение

В качестве упражнения читатель, имеющий уже некоторый опыт в применении математической индукции, может воспользоваться этим принципом, а также очевидными равенствами для того чтобы доказать общую формулу

любом целом положительном значении символ (читается -факториал») обозначает произведение первых натуральных чисел: Удобно также в качестве определения положить так чтобы формула (9) оправдывалась также и при равном 0 или

Выводу этой раскрытой формулы для коэффициентов биномиального разложения иногда дается наименование биномиальной теоремы (см. также стр. 539).

Упражнения.

(см. скан)

(см. скан)