2. Идеальные элементы и проектирование.

Введение бесконечно удаленных точек и бесконечно удаленной прямой на плоскости позволит нам гораздо более удовлетворительным образом рассмотреть проектирование одной плоскости на другую. Пусть плоскость проектируется на плоскость из центра О (рис. 83). Эта проекция

Рис. 83. Возникновение бесконечно удаленных элементов при проектировании

устанавливает соответствие между точками и прямыми и точками и прямыми Каждой точке А на соответствует единственная точка А на со следующими исключениями: если выходящий из О проектирующий луч параллелен плоскости то он пересекает в точке А, которой не соответствует никакая обыкновенная точка плоскости Такие исключительные точки плоскости расположены на прямой I, которой не соответствует никакая обыкновенная прямая плоскости Но оговаривать эти исключения становится излишним, если мы условимся точке А сопоставлять бесконечно удаленную точку на плоскости взятую в направлении прямой ОА, а прямой I — сопоставлять бесконечно удаленную прямую в плоскости Аналогично, некоторую бесконечно удаленную точку в плоскости мы сопоставляем каждой точке В на такой прямой в плоскости через которую проходят все лучи, выходящие из О и параллельные плоскости Самой прямой соответствует бесконечно удаленная прямая плоскости Таким образом, посредством введения в плоскости бесконечно удаленных точек и прямой достигается то, что проекция одной плоскости на другую устанавливает такое соответствие между точками и прямыми двух плоскостей, которое взаимно однозначно без всяких исключений. (Так устраняются исключения, упомянутые в сноске на стр. 213.) Далее, легко понять, что из принятых соглашений вытекает следствие:

точка лежит на прямой, если проекция точки лежит на проекции прямой. Отсюда видно, что все теоремы, относящиеся к коллинеарным точкам, конкуррентным прямым и т. д. и говорящие только о точках, прямых и отношениях инцидентности, инвариантны относительно проектирования в расширенном смысле. Это дает возможность оперировать с бесконечно удаленными точками плоскости заменяя их соответствующими получающимися при проектировании обыкновенными точками плоскости

Можно воспользоваться интерпретацией бесконечно удаленных точек плоскости с помощью проектирования из внешней точки О на обыкновенные точки другой плоскости чтобы получить конкретную евклидову «модель» расширенной плоскости. Для этого не будем обращать внимания на плоскость а сосредоточимся на плоскости и прямых, проходящих через О. Каждой обыкновенной точке соответствует прямая, проходящая через О, непараллельная каждой бесконечно удаленной точке прямая, проходящая через О, параллельная Итак, совокупности всех точек обыкновенных и идеальных, соответствует совокупность прямых, проходящих через О, и это соответствие взаимно однозначно без всяких исключений. Точки на некоторой прямой в плоскости переходят в прямые на плоскости, проходящей через О. Точка и прямая в плоскости инцидентны в том и только в том случае, если инцидентны соответствующие прямая и плоскость, проходящие через О. Другими словами, геометрия инцидентности точек и прямых в расширенной плоскости совершенно равносильна геометрии инцидентности обыкновенных прямых и плоскостей, проходящих через фиксированную точку пространства.

Положение вещей в трехмерном пространстве вполне аналогично, хотя отпадает возможность пользоваться наглядным аппаратом проектирования. Здесь тоже мы вводим особую бесконечно удаленную точку, связанную с каждым семейством параллельных прямых. В каждой плоскости имеется бесконечно удаленная прямая. Затем вводится новый элемент — бесконечно удаленная плоскость, состоящая из всех бесконечно удаленных точек пространства и содержащая все бесконечно удаленные прямые. С бесконечно удаленной плоскостью каждая обыкновенная плоскость пересекается по своей собственной бесконечно удаленной прямой.