ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

Открывая новую книгу, читатель вправе задать вопрос, как много нового найдет он в ней по сравнению с тем, что есть в книгах, которые уже имеются в его распоряжении.

Впрочем, теория обыкновенных дифференциальных уравнений не слишком избалована обилием литературы, как переводной, так и отечественной, особенно если речь идет о книгах, охватывающих многие аспекты теории, а не посвященных одному из специальных ее разделов, хотя бы и столь обширному, как теория устойчивости или нелинейные колебания. Поэтому можно надеяться, что многие математики — от студентов до вполне сложившихся специалистов — не откажутся иметь на своей книжной полке предлагаемое их вниманию сочинение, даже если на ней уже стоят книги Немыцкого и Степанова, Сансоне или Коддингтона и Левинсона.

Книга Филипа Хартмана — одного из крупнейших специалистов по теории дифференциальных уравнений — не является, строго говоря, ни учебником (хотя, как это видно из предисловия автора, в ее основе лежит курс лекций), ни специальной монографией. Она занимает промежуточное положение между этими двумя категориями или скорее объединяет их; вероятно, лучше всего к ней подходило бы несколько старомодное название: «Трактат об обыкновенных дифференциальных уравнениях». Автор неторопливо продвигается от основ теории к ее специальным ветвям, заглядывает в многочисленные закоулки, отмечает возможные приложения. Особенно важно, что трактат носит отчетливый отпечаток творческой индивидуальности и вкусов автора. Это последнее обстоятельство во многом определяет лицо книги и придает интерес даже тем ее главам, содержание которых можно найти в доступной широкому кругу читателей литературе.

Обширный трактат Хартмана можно разделить на три части. Материал первой из них (составляющей приблизительно 1/5 всей книги, а именно до середины главы V и начало главы XI) довольно стандартен и в той или иной форме входит во все учебники. Вторая часть книги (занимающая примерно 1/3 объема и заканчивающаяся главой IX) посвящена тому, что обычно называют качественной теорией дифференциальных уравнений. Некоторые из рассматриваемых здесь вопросов достаточно хорошо освещены в имеющейся

литературе, например исследование окрестности особой точки на плоскости, другие менее популярны, как, например, теорема Фробениуса об интегрируемости систем уравнений в полных дифференциалах. Впрочем, как раз изложение теоремы Фробениуса, пожалуй, недостаточно современно, и несколько тяжеловесное обращение с внешними дифференциалами может затруднить читателя.

Как мне кажется, впервые, если не считать журнальных публикаций, появляется изложение результатов А. Дж. Шварца о минимальных множествах потоков на двумерных многообразиях, дополняющих классическую теорию Пуанкаре — Бендиксона (этому посвящена глава VII).

Особенно следует остановиться на главе IX. Круг рассматриваемых здесь вопросов связан с теоремой об устойчивом и неустойчивом интегральных многообразиях в окрестности неподвижной точки диффеоморфизма. Эта теорема и ее обобщения играют видную роль в современной теории обыкновенных дифференциальных уравнений (теории векторных полей и однопараметрических групп диффеоморфизмов на многообразиях), и владеть результатами главы IX, по-видимому, необходимо каждому, кто желает заниматься этой теорией. Теорема о топологической сопряженности диффеоморфизма и его дифференциала в окрестности неподвижной точки (теорема Хартмана — Гробмана) и аналогичная теорема о дифференцируемой сопряженности (Стернберг) до сих пор были представлены лишь в журнальных статьях. Совершенно справедливо, что они нашли теперь место и в издании, рассчитанном на широкий круг читателей.

Наконец, третья часть — почти вся вторая половина книги — посвящена более специальным вопросам. Асимптотическое интегрирование систем, близких к линейным, уравнения второго порядка, дихотомия и т. д. — все это имеет свою историю, восходящую к классикам: Ляпунову, Пуанкаре, Штурму и другим, — и отражено в обширной литературе, ориентироваться в которой стало почти невозможно. Разумеется, на отбор материала в этой части большое влияние оказал личный вкус автора: как правило, здесь наиболее полно представлены темы, которыми занимался сам Хартман. Однако если учесть богатство и разнообразие интересов, отразившихся как в исследованиях Хартмана, так и в его многочисленных совместных работах с А. Уинтнером, то найдется не слишком много разделов классической теории обыкновенных дифференциальных уравнений, которые не были бы упомянуты, хотя бы мельком или в упражнениях.

Кстати, говоря об упражнениях, следует отметить их особую роль в этой книге. Большей частью в упражнениях сообщается информация о возможных направлениях дальнейшего развития только что изложенной теории: иногда в одно-два упражнения сконцентрировано содержание целой журнальной статьи.

В последнее десятилетие математическая активность в области обыкновенных дифференциальных уравнений значительно оживилась. Появились новые темы, наметилось определенное сближение с дифференциальной топологией, идеи которой проникают в дифференциальные уравнения все глубже и глубже. Все эти вопросы остались за пределами книги Хартмана. Однако для области, которой она посвящена и в которой так много сделал ее автор, эта книга остается полезным и нужным пособием, которое, как можно надеяться, пригодится всем, кто работает в ней.

Перевод осуществлен И. X. Сабитовым (главы I—VIII и XII) и Ю. В. Егоровым (остальная часть). Отдельные опечатки и мелкие неточности оригинала устранены без особых упоминаний. Более существенные изменения внесены в доказательство теоремы 12.2 главы IX, где в связи с обнаруженной ошибкой пришлось, не меняя плана доказательства, переработать некоторые оценки. В свою очередь это повлекло за собой сокращение пунктов доказательства и в некоторых случаях изменение нумерации формул. Разумеется, за все эти изменения полную ответственность несет автор этих строк.

В. М. Алексеев