§ 5. Оценки для ||y(t)||

В этом параграфе мы заменим условие условием Пусть фиксированные постоянные. Для каждого и каждой пары где существует функция удовлетворяющая условию (iii) из § 1. и функция такая, что при

(v) для выполняется неравенство

(vi) и существует такое число что

Заметим, что (5.1) влечет за собой если или

(В) Пусть фиксировано. Тогда существует такая постоянная , что: (i) если то при если то и при

Очевидно, что если условие выполнено при то оно справедливо при всех Нам удобно сформулировать сейчас следующий вариант условия который потребуется в части II этой главы.

(В) Пусть фиксировано. Существует такая постоянная что если [см. (vi) в § 1], f(t) = 0 на отрезке при некотором и некоторое PD-решение уравнения то

Пусть фиксировано. Решения уравнения являются непрерывными функциями от (из и существует такая постоянная что если то при

Ясно, что если условие выполнено при некотором то оно справедливо при всех

Замечание. Если матрица такова, что

или если евклидово пространство, а

то оператор соответствующий (0.1) в силу замечания из § 3, удовлетворяет условию Это видно непосредственно из (0.5) или (0.6).

Теорема 5.1. Пусть фиксированы. Предположим, что выполнены условия с постоянной не зависящей от ; Тогда индуцирует полную дихотомию для Если, кроме того, пространство квазиполно и удовлетворяет уравнению но не является PD-решением, то

Если отбросить условие независимости постоянной от то вместо утверждения о полной дихотомии мы получим утверждение об индивидуальной частичной дихотомии.

Доказательство. В силу (5.1) и условия

при Поэтому при Если то, поскольку из леммы 3.4 следует, что

так что условия предположения влекут за собой

В силу

Из неравенства в условии видно, что при

и что аналогичное неравенство справедливо для Следовательно,

где Наконец, применяя условия мы получим, что

при если В силу леммы 2.1 отсюда вытекает теорема 5.1.

Теорема 5.2. Пусть выполнены условия условие при всех с постоянными не зависящими от с нормой не зависящей от и такой, что

равномерно при больших а также выполнены условия Тогда индуцирует полную экспоненциальную дихотомию для

Доказательство. Положим в Тогда в силу (5.1), неравенства и теоремы 5.1 имеем оценку Рассуждая, как и выше, получаем В силу условия (1.7) полной дихотомии Поэтому, если

В силу (5.6), можно выбрать настолько большими, что

так что Применяя лемму 2.4 и сопровождающее ее замечание к мы получим, что справедливо условие (а) для экспоненциальной дихотомии с

Пусть Полагая и рассуждая, как и выше, мы приходим к такому выводу: если настолько велики, что

когда Применяя лемму 2.4 к получаем условие (b) экспоненциальной дихотомии для см. (1.11).

Условие (b) для всех с постоянной не зависящей от можно получить теперь из леммы 2.5, полагая В самом деле, условие (2.22) мы уже проверили, а условие (2.1) очевидно. Для доказательства неравенства (2.2) заметим, что (3.6) и условие влекут за собой такие соотношения:

для любых В силу условия (а) частичной дихотомии Отсюда мы получаем (2.2) с Чтобы получить (2.3), положим в Тогда в силу условия (b) частичной дихотомии

при Это и есть условие (2.3) с Наконец, из (5.5) вытекает (2.23). Поэтому из леммы 2.5 следует справедливость условия (1.11) экспоненциальной дихотомии для

Мы можем получить результаты, аналогичные теоремам 5.1 и 5.1, при условии, несколько более слабом, чем

Пусть фиксировано. Решения уравнения являются непрерывными функциями от (из и существует такое число что если то

Условие оказывается полезным в приложениях к уравнениям второго порядка и выполняется в силу результатов упр. XI.8.6 и 8.8. Относительно этих приложений см. упр. 7.1, 13.1 и 13.2.

Полагая в и интегрируя по на отрезке получаем

Введем в рассмотрение банахово пространство с нормой если

Теорема 5.3. Пусть фиксированы. Пусть выполнены условия с постоянной не зависящей от ; Для обозначим через многообразие функций из где и пусть Если то индуцирует частичную дихотомию для Если то индуцирует полную дихотомию для Если, кроме того, пространство квазиполно, удовлетворяет уравнению является PD-решением этого уравнения, то при

Упражнение 5.1. Докажите теорему 5.3.

Теорема 5.4. Пусть Пусть выполнены условия при с постоянными не зависящими от и не зависящей от а условие (5.6) выполняется равномерно для больших кроме того, выполнены условия Тогда индуцирует полную экспоненциальную дихотомию для многообразия определенного в теореме 5.3 с

Упражнение 5.2. Докажите теорему 5.4.