§ 2. Монотонные решения

В отличие от предыдущего параграфа мы используем обозначение или для произвольной (не обязательно эрмитовой) матрицы если или для

Аналогично, запись или для вектора означает, что или для

Теорема 2.1. Пусть непрерывная при матрица и Тогда система

имеет по крайней мере одно решение которого

Замечание. Если заменить полуинтервал интервалом в условиях и в утверждении теоремы, то теорема и следствия из нее остаются справедливыми. В самом деле, если то из теоремы 2.1 вытекает существование такого решения , что при Но тогда, как видно из доказательства, эти неравенства справедливы и при

Доказательство. Поскольку то в силу (2.1) для всякого решения из неравенства на любом интервале следует неравенство . В частности, если и то при

Пусть фиксировано, например Пусть решение системы (2.1), удовлетворяющее начальному условию где Тогда при Положим с так что с

Пусть Вектор удовлетворяет системе (2.1), при Пусть при причем существует предел

Тогда Кроме того, предел

существует равномерно на замкнутых интервалах из и является решением системы (2.1), удовлетворяющим условию см. следствие IV.4.1. В силу неравенства при из (2.3) вытекает, что при Кроме того, Тем самым теорема полностью доказана.

Упражнение Пусть решение, о котором говорится в теореме 2.1. Тогда существует при Если при некотором

(с) Покажите, что если при некотором фиксированном выполнено условие (2.4), то из него не следует, что Условие (2.4) при необходимо и достаточно для того, чтобы существовало решение, удовлетворяющее условиям теоремы 2.1 и такое, что (т. е. при

Упражнение 2.2. Следующее утверждение называется теоремой Перрона — Фробениуса. Пусть постоянная -матрица, такая, что Тогда имеет хотя бы одно вещественное неотрицательное собственное значение для которого соответствующий собственный вектор Более того, если то Выведите эту теорему из теоремы 2.1.

Следствие 2.1. Пусть матрица абсолютно монотонна при [т. е. при для другими словами, Тогда система (2 А) имеет абсолютно монотонное решение для при

Таким образом, из теоремы Хаусдорфа — Бернштейна следует, что существуют монотонные неубывающие функции при для такие, что компоненты вектора допускают представление вида

где (Относительно теоремы Хаусдорфа — Бернштейна см., например, книгу Уиддера

Упражнение Докажите следствие Если вектор, то через мы будем обозначать вектор Покажите, что заключение следствия 2.1 справедливо, если заменить (2.1) системой

где матрица удовлетворяет предположениям следствия при и

(т. е. обладает абсолютно монотонной производной при

Следствие 2.2. Пусть коэффициенты линейного дифференциального уравнения

являются непрерывными (вещественными) функциями при и

то время как произвольна). Тогда уравнение (2.7) имеет по крайней мере одно решение и для которого

при Если кроме того то (2.9) выполняется и при

Упражнение 2.4. Выведите следствие 2.2 из теоремы 2.1. Другое доказательство для случая см в следствии XI.6.4.

Следствие 2.3. Пусть коэффициенты уравнения (2.7) принадлежат классу при абсолютно монотонны при

для уравнение (2.7) имеет решение удовлетворяющее (2.9) при

Здесь не налагаются условия на В силу теоремы Хаусдорфа-Бернштейна из следствия 2.3 вытекает, что если представляется в виде

где не убывает при то уравнение (2.7) имеет решение и представимое в таком виде.

Упражнение 2.5. Докажите следствие 2.3.

Упражнение 2.6. (а) Дифференциальное уравнение для присоединенных функций Лежандра

преобразуется в дифференциальные уравнения для тороидальных функций

с помощью подстановки Если покажите, что это последнее уравнение имеет решение и абсолютно монотонное при (и что это решение единственно с точностью до постоянного множителя тогда и только тогда, когда В гипергеометрическом уравнении

сделайте замену независимой переменной где или при — так что В результате получится уравнение вида

Покажите, что если то существует абсолютно монотонное решение и при (и что это решение единственно с точностью до постоянного множителя тогда и только тогда, когда либо , либо Вырожденное гипергеометрическое уравнение в форме Куммера

имеет абсолютно монотонное решение и при если с произвольно; это решение единственно с точностью до постоянного множителя. К тому же если заменить на то новое уравнение имеет абсолютно монотонное решение при когда (и это решение единственно с точностью до постоянного множителя тогда и только тогда, когда Вырожденное гипергеометрическое уравнение Уиттекера в нормальной форме

имеет абсолютно монотонное решение при если Это решение единственно с точностью до постоянного множителя.

Следствие 2.2 допускает такое обобщение. Обозначим через

где определитель Вронского для функций

Следствие 2.4. Пусть фиксировано, Пусть коэффициенты уравнения (2.7) непрерывны при и

Предположим, что дифференциальное уравнение порядка

имеет такие решения что

Тогда уравнение (2.7) имеет решение, удовлетворяющее (2.9) при

Упражнение 2.7. Докажите следствие 2.4.

Упражнение 2.8. Пусть Предположим, что вектор-функция непрерывна при Пусть с — неотрицательное число. Покажите, что система имеет по крайней мере одно решение при для которого при

Упражнение 2.9. Пусть вещественны, (а) Предположим, что функция непрерывна при Пусть Кроме того, предположим, что решения уравнения однозначно определяются начальными условиями. Покажите, что существует число такое, что если то уравнение имеет по крайней мере одно решение при для которого при Этот результат не содержится в упр. 2.8, в котором соответствующее начальное условие имеет вид

(b) Покажите, что не всегда можно брать в части (а).

(c) Пусть функция непрерывна при при Предположим, что при каждом определена непрерывная положительная функция для такая, что для Пусть Покажите, что уравнение имеет решение, определенное при для которого , (Это частный случай теоремы XII.5.2 и упр. XII.5.3.)