§ 7. Линеаризации

Предположим, что в дифференциальном уравнении

матрица не имеет собственных значений с нулевой вещественной частью. В связи со сделанными выше (по поводу замечаниями возникает вопрос: существует ли замена переменных класса с ненулевым якобианом в окрестности точки которая переводит (7.1) в линейную систему

в окрестности точки В общем случае при ответ является отрицательным; см. упр. 7.1 и 8.1, 8.2. Этот вопрос обсуждается в приложении к этой главе.

Упражнение 7.1. Пусть вещественные переменные. Рассмотрим следующую систему из трех уравнений:

где Докажите, что не существует невырожденного преобразования класса переводящего окрестность точки в окрестность точки ( при котором данная система переходит в линейнуо! систему

См. Хартман [21].

Если рассматривать топологические, не обязательно принадлежащие классу преобразования, то справедливо следующее утверждение.

Теорема 7.1. Предположим, что не имеет собственных значений с нулевой вещественной частью, малых Пусть общие решения систем (7.1) и (7.2) соответственно. Тогда существует непрерывное взаимно однозначное отображение окрестности точки на окрестность точки такое, что в частности, преобразование переводит решения системы окрестности точки решения системы (7.2) с сохранением параметризации.

Таким образом, топологическая структура множества решений системы (7.1) в окрестности точки совпадает со структурой множества решений системы (7.2) вблизи точки Однако это неверно, если некоторые собственные значения матрицы имеют нулевые вещественные части. В этом случае система (7.2) имеет замкнутые интегральные кривые, проходящие сколь угодно близко от точки но система (7.1) может и не иметь таких кривых в окрестности точки см. упр. VIII.3.1. Теорема 7.1 будет доказана в § 9.