§ 2. Предварительные леммы

Символы имеют здесь тот же смысл, что в предыдущего параграфа. Иногда мы будем предполагать, что при фиксированном функция является «полунормой», т. е.

где с — произвольная постоянная, и или что существуют такие, что

как только

соответственно.

Заметим, что если подпространство, то достаточное условие для того, чтобы индуцировало частичную дихотомию для состоит в следующем: существуют такие, что соотношения (2.4), (2.5) влекут за собой неравенство

В самом деле условия (а) и (b) можно получить из (2.6), если положить взять в качестве произвольное число, большее 1, и соответственно положить

Следующий результат будет полезен нам в дальнейшем, и, кроме того, он иллюстрирует понятие полной дихотомии.

Лемма 2.1. Пусть подпространство из области значений оператора Обозначим через произвольные элементы из удовлетворяющие (2.4) и (2.5) соответственно. Если существуют такие что

индуцирует полную дихотомию для (с соответствующими Обратно, если индуцирует полную дихотомию для то

Замечание 1. Множитель стоящий перед в левой части (2.8), может быть отброшен при выполнении такого дополнительного предположения: если индуцирует полную дихотомию для и существуют обладающие тем свойством, что функция удовлетворяет соотношениям (2.2), (2.3), как только выполняются условия (2.4), (2.5), то существует постоянная такая, что

Доказательство. Предположим, что (2.7) выполняется. Полагая в качестве выбирая произвольное число, большее 1, а затем полагая получаем условия частичной дихотомии. Заменяя на при фиксированном для которого получаем (1.9), где или

Обратно, предположим, что индуцирует полную дихотомию для Тогда (1.9) и (1.2) показывают, что

если Условия полной дихотомии дают (2.8), если

Доказательство последней части леммы после очевидной модификации дает такое

Следствие 1.2. Пусть подпространство индуцирующее полную экспоненциальную дихотомию для Пусть удовлетворяют условиям леммы 2.1. Тогда при

где постоянные, участвующие в определении полной экспоненциальной дихотомии.

Мы не будем доказывать замечания 1, следующего за леммой 2.1, поскольку оно является частным случаем следующего более общего утверждения.

Лемма 2.2. Пусть подпространство из обладающее тем свойством, что существуют такие, что из соотношений (2.4), (2.5), где вытекает (2.6) с Пусть функция удовлетворяет условию (2.1) и существуют такие что соотношения (2.4), (2.5) влекут за собой (2.2), (2.3). Тогда существует такая постоянная что из (2.4), (2.5) следует неравенство

где

Доказательство. Из определения видно, что существуют элементы для которых величина сколь угодно близка к Поскольку элемент можно выбрать так, что для будет выполнено неравенство Так как содержится в области значений оператора существует такой элемент что Поскольку отсюда следуют такие соотношения:

Из неравенства и неравенства (2.6), в котором следует, что Неравенство (2.2) влечет за собой так что Если применить (2.3) к мы получим, что

Поскольку из последнего неравенства и из (2.11) видно, что

Поэтому (2.10) с следует из (2.6), если заменить на

Следующая лемма, интересная и сама по себе, будет не раз использоваться нами в дальнейшем. (Она неверна, если отбросить предположение о конечномерности пространства

Лемма 2.3. Пусть пространство конечномерно. Обозначим через подпространство лежащее в области значений оператора такое, что существуют для которых из (2.4), (2.5) следует (2.6). Предположим также, что непрерывная функция от для каждой функции имеет место и существуют такие что из (2.4), (2.5) вытекают (2.2), (2.3). Символом X обозначим множество начальных значений элементов для которых при Тогда является подпространством в и существует такая постоянная что из условий

следует, что

где

Отсюда сразу получаем

Следствие 2.2. Пусть пространство конечномерно и подпространство в индуцирующее полную дихотомию для Предположим, что непрерывная функция от для и что из (2.4), (2.5) вытекает (2.2), (2.3), если (например, если Пусть X — множество начальных значений элементов из таких, что при Тогда индуцирует полную дихотомию для

Доказательство леммы 2.3. Если заменить норму элементов из эквивалентной нормой (т. е. если для постоянных то предположение и утверждение теоремы не изменятся. Поэтому, не теряя общности, мы можем считать пространство евклидовым.

Пусть подпространство в ортогональное к Тогда если причем и с условием

то из (2.6) следует, что

поскольку (2.6) справедливо для всех

Из (2.6) видно, что Пусть подпространство в ортогональное к Мы покажем вначале, что существует такая постоянная что при выполнении условий имеет место неравенство

Для этого достаточно доказать существование такой постоянной что

Из (2.17) и (2.2) вытекает неравенство (2.16) с Для того чтобы установить существование постоянной заметим, что в силу влечет за собой при В частности, определяется по однозначно. Пусть при Ясно, что если (в противном случае при но Поскольку (2.2) означает, что из сходимости вытекает сходимость по норме при отсюда следует непрерывность функции от Значит, если то ([0]) имеет на сфере положительный минимум Итак, мы получаем (2.17) в случае, когда Если же то (2.17) очевидно.

Проверим теперь, что если при условии и если при условии то

Предположим, что (2.18) не имеет места. Тогда существуют такие что

Поскольку отсюда следует, что при В силу (2.1), (2.16) и того факта, что отсюда вытекают неравенства

справедливые при больших последнее неравенство следует из (2.16). Из этих соотношений, а также из (2.18), (2.19) мы получаем, что и потому Следовательно, в силу (2.1), Поэтому (2.19) влечет за собой а это невозможно, так как постоянные в (2.15) (2.16) должны удовлетворять условиям Таким образом, справедливо неравенство (2.18).

Из него сразу же следует, что

Подпространство пространства ортогональное к X, является прямой суммой пространств и Покажем теперь, что если то

где Для этого представим в виде , где ортогональные компоненты. Так как лежит в области значений оператора существует элемент для которого . Пусть так что . В силу неравенства (2.15), примененного к

Поэтому из (2.20) вытекает неравенство

откуда следует (2.21) с поскольку в силу (2.1)

Лемма 2.3 вытекает теперь из леммы 2.2 (или из ее доказательства), где допустимо значение поскольку в евклидовом пространстве можно использовать ортогональное разложение.

Доказательство существования экспоненциальных дихотомий в последующем проводится большей частью так: предварительно доказывается существование каких-либо дихотомий и затем применяется

Лемма 2.4. Пусть неотрицательная при функция, для которой существуют положительные постоянные и такие, что при при Тогда при где

Если в этой лемме предположить, что неравенство имеет место только при то основное неравенство в ее утверждении справедливо при Оно, однако, может быть заменено неравенством справедливым при если а.

Доказательство леммы 2.4. Ясно, что при Поэтому если

Поскольку наше утверждение доказано.

Применение леммы 2.4 к доказательству существования экспоненциальных дихотомий дает в общем случае показатель в (1.11), зависящий от Для доказательства существования не зависящего от будет использоваться следующая лемма. Она выводится с помощью тех же рассуждений, что и лемма 2.2.

Лемма 2.5. Пусть некоторое подпространство пространства лежащее в области значений оператора Пусть существуют такие что если при фиксированном то

Предположим, что функция удовлетворяет (2.1) и существуют такие что из (2.4), (2.5) следует (2.2), (2.3) и

Наконец, предположим, что выполнено условие (b) частичной дихотомии; ср, (1.8). Тогда справедливо условие (b) экспоненциальной дихотомии с данным (при всех см. (1.11).

Доказательство. Предположим, что условие (2.5) выполняется, и пусть есть разложение, использованное при доказательстве леммы 2.2, так что справедливо (2.11). Тогда условия (2.2) и (2.3) с дают неравенство

Поскольку из (2.1) следует, что

Применяя (2.22) при и меняя местами получаем неравенство

так что, если заменить на

В силу (2.23) после замены на соответственно

Из (2.24) и двух последних неравенств получаем

если Наконец, неравенство (1.8) в условии (b) частичной дихотомии показывает, что

если Повторное применение условия (b) частичной дихотомии позволяет отбросить ограничение после соответствующего изменения множителя Этим завершается доказательство леммы 2.5.

Предыдущие леммы и их доказательства позволяют получить характеристику «полной дихотомии» или «полной экспоненциальной дихотомии» для линейного многообразия решений однородного уравнения (0.2), где конечномерное (банахово) пространство. Пусть фундаментальная матрица системы (0.2), причем

Обозначим через непересекающиеся подпространства в дающие в сумме (т. е. и пусть проектирование на переводящее в нуль. Определим матрицу Грина положив

в соответствии с тем, будет ли или (XII.7.1).

Теорема 2.1. Пусть матрица, элементами которой служат локально интегрируемые (вещественные или комплексные) функции, определенные при пусть множество решений системы (0.2), и Подпространство пространства индуцирует полную дихотомию [или полную экспоненциальную дихотомию] для тогда и только тогда, когда для какого-либо (а значит, и для каждого) подпространства пространства дополнительного к матрица Грина (2.25) такова, что

с некоторой постоянной [или соответственно

с некоторыми постоянными

Доказательство. Необходимость. Пусть индуцирует полную дихотомию для и подпространство в У, дополнительное к Существует такое, что если то Поэтому из леммы 2.1 вытекает, что для решений системы (0.2), удовлетворяющих условиям справедливо неравенство (2.7) с

Пусть с произвольно. Тогда функция при фиксированном является решением системы (0.2) и Аналогично, функция с при фиксированном будет решением системы (0.2) и

Поэтому из (2.7) и равенства вытекает, что

при если В силу (2.25) это эквивалентно (2.26).

Точно так же, если индуцирует полную экспоненциальную дихотомию для то, используя (2.9) вместо (2.7), мы получим (2.27), в котором постоянные например, равны соответственно в терминах постоянных из (2.9).

Упражнение 2.1. Докажите вторую часть теоремы 2.1 (достаточность).