§ 5. Доказательство леммы 4.1

Для того чтобы применить следствие 3.1, положим

Покажем, что является ( множеством множества определяемым одной функцией Пусть

Поскольку то из (4.8) следует, что на где имеет место неравенство

Последний множитель положителен, так как удовлетворяет дифференциальному уравнению

и Следовательно, является -подмножеством в

Заметим, что по определению точка не лежит в ; поэтому влечет за собой

Пусть Тогда Множество — шар, а множество образует его границу и не является ретрактом Поскольку отображение : определяемое формулой непрерывно (так как на и потому является ретракцией на Существование и решения задачи (4.6), (4.7), удовлетворяющего (4.16), вытекает из следствия 3.1.

Так как из (4.15), (4.16) вытекает, что имеет место соотношение и неравенство (4.17) следует из (4.8). Этим завершается доказательство леммы 4.1.