§ 5. Внешние производные

В этом параграфе мы введем несколько новых полезных понятий. Все они будут иметь локальный характер.

Под двумерной поверхностью класса в евклидовом у-пространстве понимается множество точек которое с помощью отображения вида может быть приведена во взаимно однозначное соответствие с некоторой открытой областью евклидовой плоскости (и, и); при этом требуется, чтобы отображение у ( принадлежало классу и чтобы векторы были линейно независимыми в каждой точке области Тогда вектор-функция называется допустимой параметризацией поверхности

Если любая заданная в (вектор-) функция класса такая, что векторы и линейно независимы в некоторой точке а значит, и вблизи то множество точек для ( близких к определяет кусок поверхности. По теореме о неявной функции отображение у является вблизи взаимно однозначным.

Рассмотрим кусок поверхности класса с допустимой параметризацией определенной на односвязной ограниченной открытой области и кусочно -гладкую жорданову кривую С, лежащую в и ограничивающую некоторую область Пусть обозначают соответственно у-образы области и кривой С. Кратко о такой ситуации мы будем говорить как о «куске -поверхности ограниченном кусочно -гладкой жордановой кривой

Дифференциальной -формой на открытом множестве назьк вается формальное выражение

с вещественными коэффициентами, определенными, на гдьч в зависимости от четности или нечетности перестановки набора В частности, если хотя бы два из индексов равны, между собой. Форма называется непрерывной (или класса или равной 0), если ее коэффициенты непрерывны (или класса или тождественно равны 0) в Последовательность дифференциальных -форм на называется равномерно ограниченной (или равномерно сходящейся), если соответствующие последователь-, ности их коэффициентов равномерно ограничены (или равномерно, сходятся). Дифференциальные -формы можно складывать по видному закону. Дифференциальные и -формы можно умножать, получая при этом -формы, с выполнением обычных законов ассоциативности, дистрибутивности и закона антикоммутативности см.

Говорят, что непрерывная линейная дифференциальная форма, -форма Пфаффа)

обладает на непрерывной внешней производной если на существует непрерывная -форма

такая, что для любого куска -поверхности из ограниченного -кусочно гладкой жордановой кривой справедлива формула Стокса

Ясно, что если 5 есть образ области на поверхности для есть образ жордановой кривой С, то формула (5.3) означает, что

при обычной ориентации кривой С.

Если коэффициенты в (5.1) принадлежат классу то имеет внешнюю производную или

Бывают, однако, случаи, когда форма (5.1) имеет непрерывную внешнюю производную, даже если коэффициенты в (5.1) просто непрерывны. Рассмотрим, например, случай, когда существует вещественная функция класса такая, что (т. е. тогда имеет внешнюю производную

Основная лемма о существовании непрерывных внешних производных формулируется следующим образом:

Лемма 5.1. Пусть (5.1) есть непрерывная линейная дифференциальная -форма, определенная на открытом множестве Форма (5.1) имеет в непрерывную внешнюю производную (5.2) в том а только в том случае, когда на каждом открытом множестве с компактным замыканием существует последовательность -форм класса равномерно сходящаяся на и такая, что последовательность также сходится на равномерно (при этом равномерно на при

Доказательство. Если на существует последовательность указанного в лемме вида и если в случае формула (5.3) переписана в виде (5.4), то переход к пределу под знаком интеграла дает (5.3). Таким образом, существование указанной последовательности является достаточным для существования непрерывной внешней производной

Обратно, если (5.1) является непрерывной -формой на с непрерывной внешней производной (5.2), то будем аппроксимировать коэффициенты форм по методу § 1.3. А именно, пусть определена, как в § 1.3. Положим, считая

Так как эти интегралы в действительности берутся по шарам то и определены на множествах состоящих из тех точек у, у которых (евклидово) расстояние от границы больше чем В частности, при достаточно большом они

определены на и при стремятся там равномерно соответственно

Определим на при больших формы принадлежащие классу Пусть — кусок -поверхности в ограниченный кусочно -гладкой жордановой кривой Тогда, если достаточно мало и поверхность полученная переносом поверхности на вектор , будет находиться в и потому для справедлива формула (5.3). Перепишем эту формулу в виде, аналогичном формуле (5.4):

Умножив обе части этого соотношения на проинтегрируем по в области Очевидная перестановка порядка интегрирования показывает, что полученный результат можно интерпретировать как формулу Стокса Значит, имеет в непрерывную внешнюю производную Лемма доказана.

Замечание. Для того чтобы узнать, имеет ли непрерывная -форма (5.1) непрерывную внешнюю производную (5.2), достаточно проверить справедливость формулы Стокса (5.3) для прямоугольников на координатных -плоскостях для где Справедливость этого замечания вытекает из следующего результата:

Упражнение 5.1. Непрерывная дифференциальная -форма (5.1), определенная на открытом множестве имеет непрерывную внешнюю производную в том и только том случае, когда существует непрерывная -форма (5.2), такая, что для каждой пары и фиксированного -форма имеет непрерывную внешнюю производную или же в том и только том случае, когда формула Стокса (5.3) справедлива для всех прямоугольников на -плоскостях для где

Упражнение 5.2. Пусть непрерывная дифференциальная -форма (5.1) обладает непрерывной внешней производной, и пусть

имеет непрерывную производную по у] при фиксированном Покажите, что тогда имеет непрерывную частную производную по

Упражнение 5.3. Пусть суть непрерывные на функции, такие, что имеет непрерывные частные производные по компонентам вектора у. Покажите, тогда (5.1) имеет непрерывную внешнюю производную.

Для краткости мы будем дальше использовать применительно к -формам и их внешним производным «векторные» и «матричные» обозначения. Например, упорядоченное множество из -форм кратко будет обозначаться через Аналогично, если эти формы имеют непрерывные внешние производные, то будет обозначать упорядоченное множество -форм: Наконец, если есть -матричная функция на то будет означать упорядоченное множество -форм где