§ 17. Линейные уравнения высших порядков

Результаты §§ 4, 11, 13 и 16 будут применены теперь к линейному дифференциальному уравнению порядка

для вещественной или комплексной функции и. Это уравнение мы будем рассматривать как возмущенное уравнение

-с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение для уравнения (17.2) имеет вид

Уравнение (17.1) может быть записано в виде линейной системы

для -мерного вектора где а матрицы таковы, что

Отметим сразу, что если то имеет нормальную жорданову форму и состоит из одной жордановой клетки с на главной диагонали. Если коэффициенты малы, то уравнение (17.1) можно рассматривать как возмущенное уравнение линейно независимыми решениями которого являются функции Можно проверить, что из следствия (16.2) вытекает следующее утверждение.

Теорема 17.1. Пусть в уравнении и пусть — непрерывные, комплексные функции при удовлетворяющие при некотором таким условиям:

Тогда для любого , уравнение (17.1) имеет решение вида и при и это соотношение может быть «продифференцировано» раз, т. е.

Из доказательства будет видно, что для данного (а не для любого, как выше), такого, что достаточное условие существования решения, удовлетворяющего (17.7), состоит в следующем:

Доказательство. Поскольку в (17.5) матрица имеет жорданову форму, (17.4) можно отождествить с системой (13.3), положив где Чтобы проверить условие следствия 16.2, заметим, что множества индексов являются пустыми, и мы имеем только один индекс Соответственно Пусть значение индекса Тогда множество не содержит членов при или

содержит в точности один член если Следовательно, можно положить или если или соответственно, так что искомое асимптотическое разложение (17.7) совпадает с (первой частью) (13.7).

Рассмотрим Так как только в первой строке матрицы имеются ненулевые элементы, этот вектор можно представить в виде где в соответствии с (14.1), (14.2) и (17.5)

есть сумма по всем значениям Следовательно, из неравенства вытекает, что

с некоторой постоянной при больших Так как коэффициентом при является функция удовлетворяющая в силу 17.6 неравенству теорема 17.1 вытекает из следствия 16.2.

Случай, когда всё корни уравнения (17.3) совпадают, может быть сведен к рассмотренному в теореме 17.1, если заменить и новой зависимой переменной В другом крайнем случае, когда простой корень уравнения 17.3, справедлива

Теорема 17.2. Пусть уравнение (17.3) имеет простой корень любой другой корень, такой, что Пусть функции непрерывны при 0, причем

Тогда (17.1) имеет решение для которого

при

Доказательство. Это простейший случай следствия 16.2, соответствующий Пусть Отождествим систему (17.4) с (13.13) (см. замечание 1, следующее за теоремой 13.1). Тогда

с некоторой постоянной с. Поэтому (13.11) справедливо с и теорема вытекает из следствия 16.2.

Рассмотрим общий случай, когда уравнение (17.3) имеет корень, например равный нулю, кратности

Теорема 17.3. Пусть корень уравнения (17.3) кратности т. е. предположим, что если другой корень, то Пусть функции непрерывны при и

при некотором Тогда для всякого уравнение (17.1) имеет решение такое, что при

Упражнение 17.1. Докажите теорему 17.3.

Упражнение 17.2. Докажите теорему 17.3 в случае, когда произвольно.

Теоремы получены из результатов §§ 13 и 16; мы можем также применить результаты § 11.

Теорема 17.4. Пусть простой корень уравнения (17.3); предположим, что если другой корень, то Пусть функции непрерывны при и таковы что

или таковы, что выполнено более слабое условие

для Тогда уравнение (17.1) имеет решение при больших такое, что

Доказательство. Достаточно доказать эту теорему для случая поскольку в противном случае можно заменить в (17.1) и на Тогда Запишем (17.1) в виде системы (17.4),

(17.5). Пусть постоянная невырожденная матрица, такая, что матрица имеет нормальную жорданову форму. Первый столбец матрицы можно взять равным поскольку этот вектор является собственным для матрицы отвечающим собственному значению Тогда есть -нулевая матрица и диагональные элементы матриц таковы, что при Замена переменных приводит систему (17.4) к виду

Если то из теоремы 11.1 вытекает, что система (17.16) имеет решение для которого при Соответствующее решение системы (17.4), где удовлетворяет условиям при Поскольку и при отсюда вытекают соотношения (17.15).

Нельзя думать, что условие (17.14) в теореме 17.4 может быть отброшено. Это видно из следующего примера.

Упражнение Пусть в уравнении второго порядка

функция непрерывна при Покажите, что для того, чтобы уравнение (17.17) имело решение удовлетворяющее условию при и не равное нулю при больших необходимо, чтобы выполнялось следующее условие:

(b) Докажите, что необходимое условие (17.18) в является достаточным, если положительное число, а вещественная функция; см. Хартман [3]. Соответствующий результат содержится в упр. XI.7.5.

Теорема 17.5. Предположим, что условие (17.14) теоремы 17.4 заменено более сильным условием

при Тогда решение уравнения (17.1), удовлетворяющее (17.15), удовлетворяет также условию

где — постоянная,

полином левой части соотношения (17.3) (так что где корни уравнения (17.3), отличные от

Доказательство. Запишем (17.1) в виде системы (17.4), (17.5) и произведем замену переменных где постоянная матрица, введенная в упр. IV.8.2, первым столбцом которой служит вектор ). Тогда система (17.4) переходит в (17.16), где совпадает с -матрицей Так как матрица постоянна, из (17.19) следует, что степень абсолютных значений элементов интегрируема на полупрямой Поэтому из теоремы 11.1 вытекает, что система (17.16) имеет такое решение что если то при больших при Кроме того, в силу упр. 11.2 любое такое решение удовлетворяет соотношению

где элемент матрицы стоящий на пересечении первой строки и первого столбца.

Чтобы вычислить заметим, что, поскольку первый столбец равен ), элемент матрицы стоящий на пересечении первой строки и первого столбца, равен — Все элементы не входящие в первую строку, равны нулю. Поэтому верхний левый элемент матрицы равен произведению на соответствующий элемент матрицы Этот элемент равен алгебраическому дополнению А соответствующего элемента матрицы У, деленному на Если различные корни (17.3) и их кратности равны соответственно, то

см. упр. IV.8.2. Определитель, который равен дополнительном) минору имеет тот же вид, что и но не включает Отсюда следует, что А равен второму сомножителю в выписанном выше произведении. Поэтому

т. е. имеет место соотношение (17.21). Равенства тот факт, что первый столбец матрицы равен ), завершают доказательство теоремы 17.5.

В качестве иллюстрации этой теоремы рассмотрим уравнение второго порядка (17.7), в котором при некотором Тогда уравнение (17.17) имеет пару решений, удовлетворяющих соотношениям

при

Упражнение 17.4. Пусть вещественная функция, непрерывная при при причем вариация при ограничена (например, монотонна или имеет непрерывную производную и Докажите, что тогда (а) уравнение имеет решения и удовлетворяющие соотношениям

и что (b) уравнение имеет решения, удовлетворяющие соотношениям

(с) Сформулируйте аналогичный результат для уравнения (17.17) с не предполагая, что вещественны; см. упр. XI.8.4 (b).

Упражнение 17.5. Рассмотрим дифференциальное уравнение

Пусть функция непрерывно дифференцируема при 0, принимает комплексные значения и

(a) Докажите, что если при то уравнение (17.23) имеет решения, удовлетворяющие соотношению

(b) Докажите, что если при некотором то уравнение (17.23) имеет решения,

влетворяющие соотношению (17.25), а

(с) Докажите, что если функция имеет ограниченную вариацию, т. е.

при то уравнение (17.23) имеет пару решений, удовлетворяющих соотношению (17.25) и

Другие результаты такого рода см. в § XI.9. Аналогичные результаты для случая содержатся в упр. XI.8.5.

Упражнение 17.6. В качестве простого приложения результата последнего упражнения рассмотрите уравнение Вебера

где — постоянная, (а) Вводя новую независимую переменную выведите из теоремы 17.4, что (17.28) имеет пару решений не равных нулю при больших и таких, что при Докажите, что уравнение (17.28) имеет пару решений удовлетворяющих соотношениям Найдите асимптотические соотношения для производных решений и уравнения (17.28), дифференцируя (17.28) и применяя (b) (см. также упр. XI.9.7).

ПРИМЕЧАНИЯ

(см. скан)

(см. скан)