§ 2. Основные теоремы

В этом параграфе вводятся некоторые обозначения и термины, а также приводятся используемые в дальнейшем определения и теоремы. Доказательства большинства из этих теорем будут опущены.

Мы будем часто использовать символы Оно; например, выражение при означает, что существует постоянная такая, что для больших в то время как запись при означает, что эта постоянная может быть выбрана произвольно малой (так что если то при

Термин «функция» в дальнейшем означает, как правило, отображение некоторого заданного множества векторного пространства в пространство не обязательно той же размерности. Через обозначается нормированное вещественное -мерное векторное пространство элементов с нормой Если не оговорено противное, то обычно

а символ обозначает евклидову норму.

Если некоторая точка и подмножество пространства то расстояние от до определяется как Если и -два подмножества из то число для называется расстоянием между Если компактно, а замкнуты и не имеют общих точек, то

Если открытое множество или замкнутый параллелепипед в то соотношение означает, что вектор непрерывен на и его компоненты имеют непрерывные частные производные всех порядков относительно

Говорят, что функция определенная на -множестве где удовлетворяет условию Липшица на относительно у, если существует постоянная К у такая, что

где Любая постоянная удовлетворяющая неравенству (2.2), называется постоянной Липшица (для на (Допустимые значения К зависят, конечно, от нормы в и -пространствах.)

Семейство функций определенных на некотором у-множестве называется равностепенно непрерывным, если для любого существует такое, что Для любых В этом определении существенно то, что не зависит от функции и выбирается одновременно для всех В дальнейшем наиболее

часто будут встречаться такие равностепенно непрерывные семейства когда все удовлетворяют условию Липшица на и существует постоянная являющаяся постоянной Липшица одновременно для всех в этом случае можно положить

Лемма 2.1. Если последовательность функций, непрерывных на компактном множестве сходится на равномерно, то она равномерно ограничена и равностепенно непрерывна.

Теорема 2.1 (принцип выбора Кантора). Пусть на у-множестве задана равномерно ограниченная последовательность функций Тогда для любого счетного множества существует подпоследовательность сходящаяся на

Доказательство. Пусть состоит из точек Предположим, что вещественная скалярная функция; в случае, когда есть -мерный вектор, доказательство проводится аналогично. Последовательность чисел ограничена, и потому по теореме Больцано — Вейерштрасса существует последовательность целых чисел такая, что существует.

Аналогично, найдется подпоследовательность последовательности для которой существует Продолжая эти рассуждения, мы последовательно получаем подпоследовательности положительных целых чисел, таких, что и существует где Искомой последовательностью является «диагональная последовательность»

Различные варианты этого доказательства в дальнейшем будут называться «стандартным диагональным процессом».

Следующие два утверждения обычно связывают с именами Асколи и Арцела.

Теорема 2.2 (о продолжении сходимости). Пусть на компактном у-множестве задана равностепенно непрерывная последовательность функций сходящаяся на некотором плотном в подмножестве. Тогда последовательность сходится равномерно на

Теорема 2.3 (принцип выбора). Пусть на компактном у-множестве задана равномерно ограниченная и равностепенно непрерывная последовательность функций Тогда

существует подпоследовательность равномерна сходящаяся на

Последняя теорема может быть получена как следствие двух предыдущих. Применяя теорему 2.3 к надлежащим образом выбранной подпоследовательности, мы приходим к следующим выводам.

Замечание 1. Если в утверждении теоремы 2.3 точка является предельной точкой последовательности то подпоследовательность может быть выбрана так, что предельная функция будет удовлетворять условию

Замечание 2. Если в теореме 2.3 все (равномерно) сходящиеся подпоследовательности последовательности имеют один и тот же предел, скажем то в выборе сходящихся подпоследовательностей нет необходимости, поскольку является тогда равномерным пределом самой последовательности Это следует из замечания 1.

Теорема 2.3 и приведенные ниже ее следствия будут не раз. использоваться нами в последующем.

Теорема 2.4. Пусть последовательность непрерывных в параллелепипеде функций, таких, что

причем сходимость равномерная в

Далее, пусть является решением задачи Коши

на отрезке где и пусть

Тогда существует подпоследовательность равномерно сходящаяся на Для любой такой подпоследовательности предельная функция

является решением уравнения (2.40) на отрезке В частности, если (2.40) обладает на единственным решением то

Доказательство. Так как функции непрерывны и сходимость в (2.3) является равномерной в то существует постоянная

такая, что для лемму 2.1. Поскольку ясно, что К есть постоянная Липшица для так что эта последовательность является равностепенно непрерывной. К тому же она равномерно ограничена, так как Поэтому существование равномерно сходящейся подпоследовательности следует из теоремы 2.3. Из соотношения (2.3), леммы 2.1 и равномерности сходимости в (2.6) сразу же следует, что

равномерно на при Следовательно, в равенстве где можно применить предельный переход под знаком интеграла. Отсюда следует, что функция определяемая соотношением (2.6), является решением задачи (2.40).

Для доказательства последнего утверждения теоремы достаточно заметить, что предполагаемая единственность решения уравнения (2.40) означает, что пределом каждой (равномерно) сходящейся подпоследовательности последовательности является Поэтому справедливость (2.7) вытекает из приведенного выше замечания 2.

Теорема 2.5 (о неявной функции). Пусть суть -мер-ные векторы, некоторый -мерный вектор. Пусть функция непрерывна по вблизи точки имеет непрерывные частные производные по компонентам вектора у, якобиан в точке и пусть Тогда существуют положительные числа такие, что если фиксированы, — уравнение имеет единственное решение удовлетворяющее неравенству Кроме того, функция непрерывна в области имеет непрерывные частные производные по компонентам вектора

Относительно более сильной формы этой теоремы см. упр. II.2.3.