§ 5. Теорема Уинтнера

Теорема 4.1 и ее следствия могут быть использованы для определения интервалов существования решений некоторых дифференциальных уравнений.

Теорема 5.1. Пусть непрерывна в области и максимальное решение задачи Коши (2.1), где

существует на например, пусть где непрерывная и положительная при функция, такаяг что

Предположим, непрерывна в полосе любое, и удовлетворяет условию

Тогда максимальный интервал существования решения задачи Коши

где совпадает с

Замечание 1. Ясно, что условие (5.2) необходимо потребовать только для больших Подходящими функциями являются, например, (для больших и постоянной С).

Доказательство. Из неравенства (5.2) следует, что на любом интервале, где существует выполнено неравенство (4.6). Поэтому в силу следствия 4.3 на любом таком интервале выполнено второе неравенство из (4.7), а тогда основное утверждение теоремы вытекает из следствия II.3.1.

Для завершения доказательства остается показать, что если выполнено условие (5.1), то для максимальное решение задачи Коши

существует на Так как то из (5.4) следует, что для любого его решения и

Заметим, что неравенство влечет за собой неравенства и для В силу следствия II.3.1 решение и не может существовать на отрезке только в том случае, если оно существует в некотором полуинтервале и стремится к при Это, однако, приводит к противоречию, так как левая часть (5.5) при стремится к а правая часть — к (в силу (5.1)). Теорема доказана.

Замечание 2. Рассуждения, примененные при доказательстве теоремы 5.1, можно использовать и для получения априорных оценок решений задачи Коши (5.3). Например, если

определена так, как в теореме 5.1, положим

и обозначим через функцию, обратную к Тогда из условия следует, что для решения задачи Коши (5.3) верна оценка

Упражнение Пусть непрерывна в полосе любое. Пусть где функция интегрируема на положительна и непрерывна для и удовлетворяет условию (5.1). Покажите, что в этом случае справедливы теорема 5.1 и аналог замечания 2.

Следствие 5.1. Если непрерывная непрерывная вектор-функция на то {линейная) задача Коши

имеет единственное решение и это решение существует при всех

Это следствие вытекает из теоремы 11.1.1 и теоремы 5.1 с где постоянную С нужно взять достаточно большой.

В скалярном случае теорема 5.1 допускает следующее «обращение»:

Следствие 5.2. Пусть непрерывные функции, удовлетворяющие неравенству (4.3) в полосе и любое. Пусть некоторое решение задачи Коши (4.4), определенное на обладает следующим свойством: при Тогда максимальное решение уравнения (2.1) имеет максимальный интервал существования где при