§ 9. Асимптотическое интегрирование. Неэллиптические случаи

Асимптотическое интегрирование уравнения где функция «близка» к вещественной, но неположительной постоянной, можно провести, основываясь на результатах гл. X, как это было сделано в предыдущем параграфе. Однако мы используем в этом параграфе совсем другую технику и при этом гораздо

глубже учитываем специальную структуру уравнения второго порядка

Это уравнение эквивалентно системе из двух уравнений, имеющей вид

в которой отсутствуют диагональные элементы. (Эта система не может быть сведена к уравнению вида (9.1), если или обращаются в нуль.) Основные результаты, касающиеся уравнения (9.1), будут основываться на леммах, относящихся к системе (9.2).

Система вида (9.2) при будет называться системой типа при если существует

для каждого решения для некоторого решения. Легко видеть, что система (9.2) является системой типа тогда и только тогда, когда существуют такие линейно независимые решения что

Лемма 9.1. Пусть непрерывные комплексные функции при Предположим, что

или что выполнено более общее условие: интеграл

сходится (возможно, условно) и

Тогда система (9.2) является системой типа

Если то из условия (9.32) вытекает Если изменить порядок интегрирования, то можно видеть, что условие (9.32) эквивалентно условию

Это означает, что из (9.3) вытекает (9.4). Лемма 9.1 допускает частичное обращение.

Лемма 9.2. Если непрерывные вещественные функции при не меняющие знака или или и если система (9.2) является системой типа то справедливы соотношения (9.3).

Упражнение 9.1. Обобщите лемму 9.1 на случай, когда система (9.2) заменена -мерной системой вида где

Доказательство леммы 9.1. Интегрируя (9.2), получаем

После перемены порядка интегрирования мы получаем из последней формулы, что

Если то и из определения в (9.42) вытекают следующие неравенства:

Следовательно,

где

В силу неравенства Гронуолла (теорема II 1.1.1)

при Отсюда в силу (9.42) следует, что функция ограничена. Соотношения (9.7) и (9.42) показывают тогда, что существует предел при

Если в (9.7) подставить то мы получим предел Для того чтобы показать, что для некоторого решения уравнения (9.2), выберем начальные условия в (9.5) и (9.6). Тогда в (9.9) и (9.10) и из (9.7) (9.8) и (9.10) вытекает, что

Поскольку правая часть стремится к при отсюда следует, что если достаточно близко к то Тем самым лемма 9.1 доказана.

Доказательство леммы 9.2. Пусть решение уравнения (9.2), такое, что Можно также предположить, что при некотором . В противном случае можно прибавить к с некоторым множителем решение для которого . В действительности равенство не может иметь места, поскольку тогда, в силу (9.2), мы будем иметь

Поэтому в (9.6) и из равенства видно, что (9.32) имеет место (поскольку не меняют знака). Если для близких к то отсюда вытекает Если же и система (9.2) является системой типа то справедливо, когда не меняет знака. Этим завершается доказательство.

Пусть решения системы (9.2). Тогда

является постоянной. Это следует из теоремы IV. 1.2 (или может быть проверено с помощью дифференцирования). Если то после умножения (9.11) на мы получаем (в силу (9.2)), и поэтому существует такая постоянная что

если на отрезке Аналогично, если на отрезке то и

Обратно, если на -отрезке то (9.12) (или и (9.11) определяют решение системы (9.2).

Упражнение 9.2. Предположим, что система (9.2) является системой типа и что такое ее решение, для которого Покажите, что существует предел

и что система (9.2) имеет решение для которого

для близких к Если произвольное решение системы (9.2), то

Если, кроме того, справедливо (9.3), то для решения (9.14) выполняется соотношение

существует при и

Поэтому если вещественная функция, не меняющая знака, то (9.15) можно заменить соотношением

Лемма 9.3. Пусть функции удовлетворяют условиям леммы 9.1. Предположим, кроме того, что

Тогда система (9.2) имеет пару решений удовлетворяющих при следующим условиям:

Справедливо частичное обращение этого утверждения.

Лемма 9.4. Пусть вещественные непрерывные функции таковы, что удовлетворяет а не меняет знака. Пусть система (9.2) имеет решение, для которого выполнено (9.190) или Тогда имеют место соотношения что система (9.2) имеет решения, удовлетворяющие (9.190) и

Упражнение 9.3. Докажите лемму 9.4.

Доказательство леммы 9.3. В силу леммы 9.1, система (9.2) имеет решение такое, что Поэтому первое соотношение в вытекает из первого уравнения системы (9.2). Заметим, что интеграл

в силу (9.18) стремится к при Следовательно, интеграл абсолютно сходится (при близких к Если положить то из (9.13) следует, что система (9.2) имеет решение удовлетворяющее (9.11) с и

Соотношение вытекает из первой части (9.190 и (9.20). Полагая в (9.11) и решая это уравнение относительно получим второе из соотношений (9.190). Этим завершается доказательство.

Теорема 9.1. Пусть положительная функция, непрерывная вещественная функция при и уравнение

является неосциллирующим при Обозначим через главное и неглавное решения уравнения (9.21); см. § 6. Предположим, что непрерывная комплексная функция, такая, что

или такая, что выполнено более слабое условие:

Тогда уравнение (9.1) имеет пару решений удовлетворяющих при соотношениям

при

Упражнение 9.4. Проверьте, что если вещественная функция, не меняет знака и уравнение (9.1) имеет решение удовлетворяющее (9.24), (9.25) либо при либо при то справедливо (9.22).

Условие (9.22) в теореме 9.1 можно сравнить с условием (8.3) в теореме 8.1. Аналогом условия (8.3) служит более сильное условие:

поскольку при

Замечание. Из доказательства теоремы 9.1 будет видно, что если комплексная функция, но существует пара решений, асимптотически пропорциональных вещественным положительным функциям удовлетворяющим (9.22) (или (9.23)), причем то будет справедлива теорема 9.1.

Упражнение 9.5. Пусть непрерывные функции при такие, что уравнение (9.21) имеет решение не обращающееся в нуль при больших и пусть существует предел

а

Тогда уравнение (9.1) имеет пару нетривиальных решений таких, что

Доказательство теоремы 9.1. Вариация постоянных сводит (9.1) к уравнению

для близких к ; см. (2.31). Запишем это уравнение в виде системы (9.2), где

Проверим, что выполнены условия леммы 9.3. Заметим, что условие (9.18) имеет место, поскольку главное решение уравнения (9.21); см. теорему 6.4. Неглавное решение уравнения (9.21) задается формулой

а всякое другое неглавное решение, с точностью до постоянного множителя, равно при см. следствие 6.3. Условие (9.4) эквивалентно (9.23).

Таким образом, можно применить лемму 9.3. Пусть соответствующие решения системы (9.2) и соответствующие решения уравнения (9.1). Тогда первая часть асимптотических равенств при дает (9.24) при Заметим, что из равенства следует, что так что, в силу (9.27),

Поскольку мы получаем отсюда соотношение (9.25) при Далее

а из (9.28) мы имеем Следовательно, соотношение (9.25) справедливо и при Этим теорема доказана.

Следствие 9.1. Пусть в уравнении

комплексная функция непрерывна при больших и удовлетворяет условию

или более общему условию: существует

Тогда уравнение (9.29) имеет такие решения что при

Обратно, если вещественная функция, не меняющая знака, и уравнение (9.29) имеет решение, удовлетворяющее (9.32) или (9.33), то справедливо (9.30).

Первая часть следствия вытекает из теоремы 9.1, если отождествить (9.29) и с (9.1) и (9.21) соответственно. Последнее уравнение имеет решения (При условии (9.30) существование решений доказано также в теореме Последняя часть следствия вытекает из леммы 9.4 или упр. 9.4.

Следствие 9.2. Пусть в уравнении

параметр комплексная непрерывная функция, определенная при больших и удовлетворяющая условию

или более общему условию: существует

Тогда уравнение (9.34) имеет такие решения что

Обратно, вещественная, меняющая знака функция и уравнение (9.34) имеет решение или удовлетворяющее соответствующим условиям в (9.37), то справедливо соотношение (9.35).

Первое утверждение вытекает из теоремы 9.1, если заменить (9.1) и (9.21) на (9.34) и соответственно. Последнее уравнение имеет решения (При условии (9.35) существование решений доказано также в теореме

Упражнение 9.6. Пусть положительная функция при имеющая непрерывную вторую производную, и

Тогда уравнение имеет пару решений, удовлетворяющих при соотношениям

с результатом упр. X. 17.5.)

Упражнение 9.7. Найдите асимптотические формулы для главного и неглавного решений уравнения Вебера

(где — вещественное число), исключив вначале среднее слагаемое, используя аналог подстановки (1.9) и применяя затем результат упр. 9.6 к получающемуся уравнению; см. упр.

Следствие 9.3. Пусть в уравнении (9.29) комплексная функция непрерывна при больших и функция из (9.31) такова, что существует

Тогда для того, чтобы уравнение (9.29) имело решения удовлетворяющие при соотношениям

достаточно, чтобы

Если вещественная функция, то это условие является также и необходимым.

Доказательство. Легко проверить, что функция

является решением уравнения

Из условий, наложенных на следует, что существует не равный нулю Соответственно решение уравнения (9.42)

асимптотически пропорционально при

Следовательно, уравнение (9.42) имеет решения, асимптотически пропорциональные (положительным) функциям Поэтому, если заменить (9.1), (9.21) на (9.29) и (9.42) соответственно и если выполняется (9.40), то замечание, сопровождающее теорему 9.1, показывает, что выводы этой теоремы остаются в силе. Следовательно, уравнение (9.29) имеет решения удовлетворяющие условиям при Соотношения (9.25) переходят в

Поскольку при ясно, что решения после умножения на некоторые постоянные удовлетворяют (9.38) и (9.39). Последнее утверждение теоремы вытекает из того факта, что когда функция вещественна; см. упр. 9.4.

С помощью простой замены переменных теорема, касающаяся уравнения (9.29) с «малой» функцией может быть переформулирована для уравнения (9.34) с «малой» функцией и обратно:

Лемма 9.5. Пусть непрерывная комплексная функция, определенная при больших Тогда замена переменных

где переводит уравнение (9.34) в

а замена переменных

преобразует (9.29) в уравнение

Упражнение 9.8. Проверьте эту лемму.

Упражнение Пусть непрерывная комплексная функция при больших такая, что существуют пределы

Тогда уравнение имеет пару таких решений, что при

(b) Пусть такая непрерывная комплексная функция при что при некотором из отрезка

Тогда уравнение имеет решение, удовлетворяющее соотношениям

и решение, для которого

при