§ 3. Оператор T

Общая теория излагается здесь в несколько абстрактной форме и может быть применена как к системам (0.1) или (0.3), так и к другим задачам. В дальнейшем через обозначаются банаховы пространства в Результаты этого параграфа аналогичны леммам из

Пусть конечномерные банаховы пространства. Рассмотрим линейный оператор из в

и элементы его ядра

Область определения оператора обозначим через 3) Пусть конечномерное банахово пространство, некоторое другое банахово пространство. (Мы не предполагаем, что конечномерно, хотя в приложениях нам встретится и этот случай. При рассмотрении, например, дифференциально-разностных уравнений уже не будет конечномерным пространством.) Обозначим через оператор, действующий из а через оператор, действующий из в Предположим, что области определения операторов те же, что и у оператора : 3) Элемент мы будем называть начальным значением функции и обозначать через Через мы будем обозначать норму в каждом из пространств или если это не приводит к недоразумениям.

Замечание. Удобно время от времени иллюстрировать различные положения общей теории на конкретном примере системы (0.1). При этом мы всегда будем предполагать, что определены на интегрируемы по всем конечным интервалам и что абсолютно непрерывное решение системы (0.1). В этом

случае пространства можно считать совпадающими; оператор определяется равенством это множество функций из абсолютно непрерывных (на каждом тождественный оператор; В приложениях общей теории к системе (0.3), где и может быть вектором, предполагается, что система (0.3) записана в виде системы (0.1) для но

Определение. PD-решения и Пусть банахово пространство; у (0 называется PD-реигением уравнения (3.1) при заданной функции если выполняется (3.1) и Через обозначим линейное многообразие в состоящее из начальных значений всех -решений уравнения (3.2).

Определение. -допустимость. Пара банаховых пространств из называется -допустимой для уравнения (3.1), если для каждой функции уравнение (3.1) имеет хотя бы одно PD-решение

Относительно оператора время от времени будут делаться различные предположения или Обсудим сейчас эти предположения и некоторые следствия из них.

(А) Если то функция и (существенно) ограничена на каждом интервале из

Это условие означает, что ответ на вопрос о том, будет ли -решением уравнения (3.1), зависит только от поведения функции и при больших условия для

Единственность Если выполнено (3.2) и то Существуют такие положительные постоянные что из (3.1) вытекает оценка

Разумеется, она вытекает из неравенства (0.5).

(A) То же самое предположение, что и но оценка (3.3) заменена оценкой

Нормальность Если выполняется уравнение (3.1), то единственным образом определяется по более того, линейное отображение из в определяемое как.

непрерывно в следующем смысле: если и существуют пределы то существует предел Ту

Главную роль условие играет в следующем предложении (ср. с леммой XI 1.6.2):

Лемма 3.1. Пусть выполнено условие Оператор из определяемый равенством и имеющий область определения которая состоит из тех элементов лежащих в области значений оператора для которых и Ту замкнут. Кроме того, при каждом существует постоянная такая, что

Доказательство. Чтобы доказать замкнутость оператора рассмотрим сходящуюся последовательность элементов, лежащих на его графике, где Туп Тогда существуют

Поскольку из сходимости в вытекает сходимость в условие (1.5) на предположение влечет за собой следующее: существует предел Поэтому Следовательно, оператор замкнут.

Пусть оператор, отображающий в пространство функций со значениями в У, интегрируемых по отрезку область определения этого оператора совпадает с графиком оператора Тогда определен на подпространстве пространства Из следует, что оператор непрерывен и, следовательно, ограничен. Неравенство (3.4) эквивалентно условию ограниченности оператора

Хотя тривиальное пространство не лежит в такой выбор пространства В допускается леммой 3.1. Из замкнутости оператора вытекает

Следствие 3.1. Пусть выполнено Множество элементов вида где пробегает множество всех PD-решений уравнения (3.2), является подпространством (т. е. замкнутым линейным многообразием) в

(А) Пара является -допустимой.

Лемма 3.2. Из условий вытекает существование таких постоянных что если то

нение (3.1) имеет PD-решение для которого

Доказательство. Пусть оператор из определенный в лемме 3.1. В силу этой леммы замкнут, а в силу он отображает на все Из теоремы об открытом отображении XI 1.0.3 следует существование постоянной

Если условие выполнено, то из (3.3), (3.4) с и (3.5 мы получаем оценку

Поэтому, в силу (1.5), неравенство (3.52) справедливо с Если выполняется то аналогично из (1.5), (3.3) и (3.5 вытекает неравенство (3.52) с замкнуто.

Это предположение, очевидно, выполняется, если (а поэтому и конечномерно.

Лемма 3.3. Пусть выполнены условия [или и Пусть какое-либо подпространство пространства содержащееся в [например, если справедливо можно положить Тогда существует постоянная такая, что если

Доказательство. Пусть оператор из определенный равенством где это множество элементов вида таких, что является PD-решением уравнения (3.2) и Оператор замкнут в силу (3.3) [или (3.3)] и взаимно однозначен в силу и отображает на все поскольку Значит, к применима теорема об открытом отображении; тем самым лемма 3.3 доказана.

Лемма 3.4. Пусть выполнены условия (А [или Тогда существует постоянная такая, что если то

где постоянная, что частности, допустимо значение

Доказательство. Пусть некоторое PD-решение уравнения (3.1), удовлетворяющее условиям леммы 3.3, такое, что

Поскольку функция является PD-решением уравнения (3.2), мы получаем из (3.6) такую оценку:

Если мы имеем

Поэтому справедливо второе из неравенств (3.7). Кроме того,

Если то отсюда следует, что первое из неравенств (3.7) выполняется с