§ 8. Нелинейные уравнения

В этом параграфе мы используем леммы для изучения нелинейного уравнения

Пусть банаховы пространства, более сильные, чем замкнутый шар в

Теорема 8.1. Пусть заданы локально интегрируемая -матричнач функция на а пара является допустимой для (6.1). Пусть при каждом есть элемент пространства 93, удовлетворяющий условию

для всех и некоторой постоянной ; Предположим, что Кпостоянные из леммы так малы, что

Тогда уравнение (8.1) имеет единственное решение удовлетворяющее условию

Из доказательства будет ясно, что первая часть условия (8.3) может быть заменена предположением

В действительности роль условия (8.3) как раз и заключается в том, чтобы выполнялось (8.5). В соотношении (8.4) символ означает проекцию на аннулирующую некоторое фиксированное подпространство где

Доказательство. Теорема 8.1 является непосредственным следствием теоремы 0.1 и леммы 6.3. Действительно, так как для любого то из леммы 6.3 и того, что по предположению пара ( является допустимой, следует, что уравнение

имеет единственное -решение удовлетворяющее (8.4) и (6.8), где Определим оператор из равенством В частности, если то

Если и мы получаем, что есть единственное -решение уравнения

удовлетворяющее условию Значит, по лемме 6.3 и условию (8.2),

Следовательно, применима теорема 0.1, и потому имеет единственную неподвижную точку Теорема 8.1 доказана.

Утверждение следующей теоремы относится к пространству непрерывных функций действующих из в У, с топологией равномерной сходимости на компактных интервалах из В ней содержится предположение, касающееся непрерывности отображения из замыкания подмножества пространства в Оно выглядит более естественным, если работать с банаховыми пространствами непрерывных функций на с нормами, обеспечивающими равномерную сходимость на Это как раз тот случай в частях I и II, когда заменялось ограниченным отрезком Условие непрерывности будет выполнено также при различных предположениях в следствии 8.1.

Теорема 8.2. Пусть локально интегрируема на банаховы пространства, более сильные, чем замкнутый шар радиуса — замыкание множества Пусть удовлетворяют следующим условиям: i) пара допустимая для (6.1); есть непрерывное отображение подмножества пространства в 23; iii) существует такое, что

существует функция такая, что

Пусть — постоянные из леммы 6.3 и Наконец, пусть так малы, что

Тогда уравнение (8.1) имеет по крайней мере одно решение удовлетворяющее условию

Доказательство. Как и в предыдущем доказательстве, определим оператор из положив где а есть единственное -решение уравнения (8.6), удовлетворяющее (8.4). Тогда, по лемме 6.3,

Отсюда, в силу условия отображает в себя, точнее, в .

Заметим, что основное неравенство (6.5) влечет за собой

для Так как пространство сильнее, чем то выполнено (6.6). Кроме того, для имеем подобное же неравенство с подходящей константой Отсюда для получаем

Проверим сначала, что отображение непрерывно, где рассматривается как подмножество пространства Пусть ; тогда является единственным -решением уравнения (6.1) (где удовлетворяющим условию Отсюда по лемме 6.3 получаем, что

Кроме того, для имеет место неравенство (8.12). Значит, для

Так как, по условию сходимость в влечет за собой сходимость в то равномерно на отрезках из У, т. е. в Тем самым доказана непрерывность отображения Покажем теперь, что образ множества имеет в компактное замыкание. В силу (8.12), где для имеем

Значит, множество функций равномерно ограничено на отрезке Если — число, равное правой части последнего неравенства, то из (8.6) и (8.10) следует, что

Поэтому функции из образа множества являются на каждом отрезке равностепенно непрерывными. Тогда из теоремы Арцела следует, что имеет в компактное замыкание. Так как 5 выпукло и замкнуто в то из следствия 0.1 вытекает, что имеет неподвижную точку Поэтому теорема 8.2 является следствием того, что

Было бы желательно выяснить, какие условия следует наложить на чтобы выполнялись предположения теоремы 8.2.

Условие на Пусть (см. § 6), где

X — некоторое подпространство пространства У, а В — банахово пространство вещественных функций на У, таких, что i) В сильнее, чем В в точке является тощим (см. § 7); iii) В содержит характеристическую функцию отрезков если измеримая функция на такая, что

Для приложений к уравнениям высших порядков особенно важно иметь возможность взять а не Если такие уравнения представить как системы уравнений первого порядка, то «неоднородный член обычно принадлежит подпространству например, может иметь вид

Примерами пространств В, удовлетворяющих условию являются пространства (но не Другие такие пространства В можно получить следующим образом. Пусть такая измеримая функция, что и 1 ограничены на каждом отрезке Обозначим через пространство функций на таких, что с нормой Пространство удовлетворяет условиям Для этого пространства функция если

Условие на Пусть непрерывна на произведении множества и шара из пусть значения принадлежат X и существует функция такая, что

Следствие 8.1. Пусть локально интегрируема на пара ( допустима для (6.1); 23 удовлетворяет условию удовлетворяет условию Пусть Тогда, если выполнено

неравенство (8.11), уравнение (8.1) имеет по крайней мере одно решение на удовлетворяющее условиям при

Упражнение 8.1. Докажите следствие 8.1.

Упражнение 8.2. Пусть представлено в виде прямой суммы пусть есть проекция на аннулирующая есть проекция на аннулирующая Пусть локально интегрируема на Определим с помощью (7.1) и предположим, что существуют постоянные такие, что для Пусть непрерывна для и пусть Покажите, что если достаточно малы, то уравнение (8.1) имеет решение для удовлетворяющее условиям необходимых и достаточных условиях, обеспечивающих выполнение предположения, касающегося см. теоремы XIII.2.1 и XIII.6.4.)