§ 6. Дальнейшие теоремы о дифференцируемости

Основной результат этой главы (теорема 3.1) о дифференцируемости общего решения допускает следующее обобщение:

Теорема 6.1. Пусть функция непрерывна в открытом -мнoжeстве Е. Задача Коши

тогда и только тогда имеет при всех единственное решение принадлежащее в его области определения классу по когда каждая точка из обладает открытой окрестностью в которой существуют непрерывная невырожденная -матрица и непрерывная -матрица такие, что дифференциальных -форм

с переменными имеют в непрерывные внешние производные.

В отличие от теоремы 3.1 предположения теоремы 6.1 инвариантны относительно -преобразований переменных

Ясно, что если то (6.2) представляет собой упорядоченную совокупность -форм,

из которых имеет вид

где Если эта форма имеет непрерывную внешнюю производную, то последняя будет дифференциальной -формой вида

где суть непрерывные функции от . В этом случае определим -матрицу и фматрицу следующими равенствами:

Доказательство теоремы 6.1 будет приведено в § 11. Из него будет вытекать

Следствие 6.1. Пусть функция такая же, как в теореме 6.1, и пусть в существуют указанные в теореме 6.1 матрицы Будем рассматривать только точки Тогда функция является решением задачи

решением задачи

где с суть столбцы соответственно матриц

Заметим, что решение задачи (6.7) не обязательно имеет производную, но имеет производную, удовлетворяющую уравнению (6.7). Очевидная замена переменных сводит линейные уравнения в (6.7) и (6.8) к виду, рассмотренному в гл. IV; ср. (11.1) - (11.3).

Утверждения, касающиеся задач (6.7) и (6.8), более удобно записать в виде матричных уравнений

где матрицы Якоби.

Упражнение 6.1. Пусть непрерывный -мерный вектор, определенный в открытом -множестве Пусть произвольная совокупность целых чисел, такая, что ни одно целое число, кроме 0, не встречается в ней более одного раза. Пусть и предположим, что компонента обладает непрерывными частными производными по каждому из своих аргументов, за исключением, возможно, Тогда задача Коши

где если имеет единственное решение причем функции принадлежат классу

Следующие два упражнения представляют собой применения теоремы 6.1 и следствия 6.1 к дифференциальной геометрии.

Упражнение Пусть через где обозначена невырожденная симметричная -матрица, элементами которой являются вещественные функции, принадлежащие классу при малых и пусть обратная матрица. Рассмотрим задачу Коши

для геодезических линий метрики где коэффициенты обозначают символы Кристоффеля 2-го рода, определяемые формулами

Предположим, что имеет непрерывный тензор римановой кривизны в том смысле, что каждая из дифференциальных -форм

имеет непрерывную внешнюю производную. Покажите, что при малых и произвольном задача Коши (6.11) имеет единственное решение и что суть функции класса от своих аргументов. (Ь) Пусть где и пусть при малых есть функция класса с матрицей Якоби ранга Покажите, что утверждения применимы к где равно скалярному произведению Покажите, что в метрике где через точку в направлении проходит более чем одна геодезическая.

Упражнение 6.3. Пусть где есть симметричная -матрица, элементами которой являются вещественные функции, принадлежащие при малых классу такая, что Пусть а — знакопеременная квадратичная форма:

Тогда а представляется в виде произведения где — линейно независимые дифференциальные -формы. (Заметим, что а не является дифференциальной -формой, а является обычным, а не внешним, произведением.) (а) Существует единственная непрерывная дифференциальная -форма такая, что

(b) Предположим, что а имеет непрерывную кривизну в том смысле, что сомножители могут быть выбраны так, что обладает непрерывной внешней производной, при наличии которой К определяется формулой

Покажите, что для малых существуют функции класса такие, что и отображение преобразует а в форму

где принадлежит классу и имеет непрерывную вторую смешанную производную, такую, что

(Можно показать, что принадлежит классу см. Хартман Покажите, что утверждение (Ь) применимо, если есть дифференциальное уравнение асимптотических линий

на куске -поверхности отрицательной кривизны, лежащей в евклидовом пространстве Покажите, что утверждение (b) применимо, если есть дифференциальное уравнение линий кривизны на куске -поверхности без омбилических точек, лежащей в .