§ 5. Число нулей

В этом параграфе изучается число нулей вещественных решений уравнения вида

Теорема 5.1. Пусть вещественная функция непрерывна на отрезке Пусть непрерывная функция на том же отрезке и

Если вещественное решение уравнения (5.1) имеет два нуля, то

где ; в частности,

Упражнение 5.1. Покажите, что неравенство (5.3) является «точным» в том смысле, что (5.3) может не выполняться, если заменить на при

Доказательство теоремы 5.1. Предположим, что уравнение (5.1) имеет решение с двумя нулями на Поскольку уравнение

служит мажорантой Штурма для (5.1) и потому имеет решение и с двумя нулями на см. теорему 3.1. Так как имеем

см. упр. 2.1, в частности (2.18). Предположим, что соседние нули функции и и что и если Пусть такая точка, что и при Правая часть выписанного выше равенства возрастет, если и заменить на и

Поэтому, поделив на и получаем

где Поскольку при при

Наконец, заметим, что при действительно, дифференцирование по и а показывает, что возрастает вместе с если и убывает вместе с а, если Поэтому (5.4) вытекает из (5.6). Соотношение (5.3) является следствием из (5.2) и (5.4). Теорема 5.1 доказана.

Поскольку полагая в теореме 5.1, получаем

Следствие 5.1 (Ляпунов). Пусть вещественная непрерывная на отрезке функция. Необходимое условие для того, чтобы уравнение (5.1) имело решение и обладающее двумя нулями, состоит в следующем:

Упражнение 5.2. Пусть функция непрерывна на и уравнение (5.1) имеет решение равное нулю при и положительное при Используя (5.7), докажите, что где . (b) Покажите, что множитель 2 перед величиной не может быть заменен большей постоянной.

Упражнение Рассмотрим дифференциальное уравнение с вещественными непрерывными на отрезке коэффициентами, имеющее решение и равное нулю при Покажите, что

(b) В частности, если имеет место неравенство Но оно легко может быть выведено из

неравенства Виртингера (которое может быть доказано, если положить разложить и в ряд Фурье по синусам и применить равенство Парсеваля к ). Покажите, что Результат части (b) можно усилить до неравенства См. Опяль [3]. (d) Аналогичный результат для уравнения порядка формулируется так. Пусть дифференциальное уравнение имеет) непрерывные коэффициенты при решение и обладающее нулями на Пусть Тогда

Если функция равна положительной постоянной на то число нулей решения (0) уравнения (5.1) на очевидно, удовлетворяет неравенству

где последнее неравенство вытекает из неравенства Шварца. Отсюда следует, что аналогичное неравенство справедливо и в случае непостоянной непрерывной функции

Следствие 5.2. Предположим, что функция вещественна и непрерывна при Пусть и решение уравнения (5.1) и - число его нулей на полуинтервале Тогда

Доказательство. Пусть и функция и имеет нулей на в точках В силу следствия 5.1

при Так как гармоническое среднее положительных чисел не превосходит их арифметического среднего, имеем

Поэтому, складывая неравенства (5.10) для получаем

откуда следует неравенство (5.9).

Упражнение 5 А. Покажите, что справедливо неравенство

Для этого используйте (5.3) с вместо (5.7). Заметим, что если положительная постоянная, то

Аналогичное неравенство справедливо при некоторых более слабых предположениях относительно непостоянной функции

Теорема 5.2. Пусть непрерывная функция имеет ограниченную вариацию при Предположим, что вещественное решение и уравнения (5.1) имеет нулей на полуинтервале Тогда

Доказательство. Определим непрерывную функцию полагая

Тогда (см. упр. 2.6; в частности (2.49), где

По лемме является наибольшим целым числом, не превосходящим так что Отсюда следует (5.12).

Упражнение 5.5. (а) Пусть функция непрерывна при Пусть вещественное решение и число его нулей на полуинтервале Покажите, что

(b) Если, кроме того, функция имеет непрерывную вторую производную, то

Следствие 5,3. Пусть непрерывная функция ограниченной вариации на для каждого Предположим также, что

например, для этого достаточно, чтобы функция имела непрерывную производную такую,

Пусть и вещественное решение уравнения число его нулей на полуинтервале Тогда

Это вытекает из (5.13) и формулы (5.12) теоремы 5.2. Отметим, что если, например, функция монотонна и при то условие (5.14) является ограничением не на скорость роста функции а на его регулярность. Это можно видеть из того факта, что интеграл

имеет предел при поэтому, вообще говоря, функция «мала» при больших

Условия следствия 5.3 являются несколько завышенными для справедливости соотношения (5.15); это видно из следующих упражнений.

Упражнение 5.6. (а) Пусть непрерывная при функция и

Пусть и решение уравнения (5.1) и число его нулей на отрезке Тогда имеет место соотношение (5.15). (b) Для того чтобы выполнялось условие (5.16), необходимо и

достаточно следующее: при равномерно на каждом фиксированном ограниченном с-интервале прямой —

Упражнение 5.7. Часть (b) последнего упражнения допускает следующее обобщение. Пусть непрерывная при функция. Пусть функция непрерывна при при и некоторых неотрицательных постоянных Условие

выполняется тогда и только тогда, когда если равномерно на каждом ограниченном с-интервале прямой —

Оценка числа совсем другого типа дается в следующей теореме:

Теорема 5.3. Пусть функции вещественны и непрерывны при Обозначим через вещественные решения уравнения

для которых

Пусть число нулей функции при Тогда

Доказательство. Пусть произвольное вещественное число. Рассмотрим решения

уравнения (5.17). Очевидно,

Выберем так, чтобы и пусть число нулей функции на полуинтервале

Поскольку из (5.20) следует, что линейно независимы, они не имеют общих нулей. Следовательно, можно определить

непрерывную функцию

Эта функция непрерывно дифференцируема и, в силу (5.20),

Поэтому функция возрастает, при этом тогда и только тогда, когда Следовательно, наибольшее целое число, не превосходящее интегрируя (5.22), получаем

Из теоремы Штурма о разделении нулей следует, что и потому имеет место (5.19).

Упражнение 5.8. Пусть будут такими же, как в теореме 5.3, и, кроме того, пусть Покажите, что

(Если , то соотношения (5.19) и (5.23) получаются как частный случай «двойственности» относительно замены (и, на см. лемму XIV.3.1.)

Упражнение 5.9. (а) Пусть функция непрерывна при Используя (5.9) и (5.19), покажите, что если все решения уравнения ограничены, то при больших

Заменяя в на покажите, что если, кроме того, нетривиальное решение при то

(b) Пусть при Используя (5.9) и (5.23), покажите, что если первые производные всех решений уравнения ограничены, то при больших

Если, кроме того, при для некоторого решения то

(с) Обобщите (а) (или на случай, когда уравнение заменено уравнением и условие ограниченности решений (или их производных) заменено условием (соответственно где непрерывная функция.