ЧАСТЬ III. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ В ЦЕЛОМ
§ 10. Асимптотическая устойчивость в целом
Рассмотрим автономную вещественную систему дифференциальных уравнений
решения которой однозначно определяются начальными условиями. Пусть 
является решением при 
Это решение называется
асимптотически устойчивым в целом, если всякое решение 
системы (10.1), определенное при малых 0, может быть продолжено на полупрямую 
и 
при 
В отличие от понятия асимптотической устойчивости, введенного в 
здесь не предполагается, что начальное значение 
близко к значению 
решения 
Обычно будет предполагаться, что
и что 
как и в § 111.8.
Пусть функция 
имеет непрерывные частные производные первого порядка. Обозначим через 
матрицу Якоби 
где 
Критерий асимптотической устойчивости в целом, который мы получим ниже, в простых случаях сводится к условиям, содержащим одно из двух неравенств:
или
где точка означает скалярное произведение. Интересно отметить, что условия (10.3) и (10.4), приводящие к устойчивости, являются в некотором смысле дополнительными.
Условие (10.3), утверждающее, что 
как только вектор 
имеет направление 
можно заменить условием 
для 
если 
положительно определенная постоянная эрмитова матрица порядка 
так что
Соответственно, условие (10.4) можно заменить условием
где 
такая же матрица, как и в (10.5). В действительности условия (10.5), (10.6) не являются более общими, чем (10.3), (10.4), как это видно из следующего упражнения.
Упражнение 10.1. Пусть функция 
в (10.1) принадлежит классу 
и удовлетворяет (10.5) [или (10.6)], где 
положительно определенная матрица. Обозначим через 
самосопряженную матрицу, квадратный корень из 
см. упр. 1.2. Введите в (10.1) новую зависимую переменную 
и покажите, что новая система для 
удовлетворяет условию, аналогичному (10.3) [или (10.4)].
Общий критерий, который будет получен, по существу является обобщением условий (10.3) или (10.4) и содержит непостоянные положительно определенные эрмитовы матрицы 
