§ 4. Существование производных высших порядков

Вопрос о существовании производных высших порядков общего решения легко решается на основе теоремы 3.1 и следствия 3.3

Теорема 4.1. Пусть функция, непрерывная но открытом -множестве и такая, что она обладает непрерывными частными производными по компонентам вплоть до порядка ту Тогда задача Коши

имеет единственное решение фиксированном обладающее всеми частными производными вида

где

Доказательство будем проводить индукцией по (сначала для случая Теорема для верна в силу следствия 3.3 при любой размерности вектора Предположим, что она справедлива и для случая, когда в утверждении теоремы вместо взято

Рассмотрим аналог задачл (3.2):

где при В силу условий, наложенных на и предположения индукции правая часть уравнения (4.3) имеет непрерывные частные производные порядка по компонентам и Поэтому по предположению индукции решение задачи (4.3) имеет по компонентам непрерывные частные производные всех порядков и каждая из этих частных производных обладает непрерывными частными производными по

Подобным же образом из аналога задачи (3.3) видно, что имеет по компонентам непрерывные частные производные всех порядков и каждая из этих производных обладает непрерывной производной по Тем самым индукция завершена, и мы получаем, что имеет все непрерывные частные производные вида (4.2) при

Существование и непрерывность производных вида (4.2) при следует из аналога формулы (3.4). Теорема доказана.

Следствие 4.1. Пусть функция принадлежит в открытом -множестве классу Тогда решение задачи (1.2) принадлежит классу во всей области его существования.

Доказательство этого утверждения мы предоставляем читателю в качестве упражнения.