ЧАСТЬ II. СОПРЯЖЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ

§ 9. Ассоциированные пространства

В этой части главы нам понадобится понятие ассоциированного пространства. Обозначим через множество нормированных пространств удовлетворяющих дополнительному условию если при

Всюду до конца этой главы мы предполагаем, что банаховы пространства из

Пусть банахово пространство из Пусть —множество вещественных функций при (точнее, классов эквивалентных функций, различающихся на множествах нулевой меры), таких, что для всех функция принадлежит пространству Легко видеть, что существует такая постоянная что

В противном случае нашлась бы такая последовательность что Тогда Но в силу теоремы Лебега об интегрировании монотонной последовательности

Обозначим наименьшую постоянную а, удовлетворяющую неравенству (9.0), через так что

Это неравенство, очевидно, эквивалентно неравенству

Лемма 9.1. Пусть банахово пространство. Тогда пространство с нормой является банаховым пространством из (в действительности из и притом квазиполным.

Упражнение 9.1. Докажите эту лемму. Для того чтобы , важно, чтобы включения для этого недостаточно»

Ясно, что пространство изоморфно и изометрично подпространству двойственного к пространства

Упражнение 9.2. Пусть Покажите, что ассоциированным с пространством является

Лемма 9.2. Пусть банахово пространство и (конечномерное) банахово пространство, двойственным к которому является пространство У. Пусть В этом случае тогда и только тогда, когда существует постоянная а такая, что для каждой функции функция принадлежит и

Тогда наименьшая постоянная а, удовлетворяющая (9.2), равна

Напомним, что через обозначается отношение двойственности («скалярное произведение») элементов в В рассматриваемом случае (У конечномерно) нетривиальная часть леммы может быть сведена к одномерному случаю с помощью выбора соответствующих базисов в и оценки компонент вектора

Упражнение 9.3. Докажите лемму 9.2.