§ 13. О следствии 11.2

Для того чтобы доказать утверждение, аналогичное следствию 11.2, но с заменой матрицей зависящей от у, нам понадобится некоторое свойство полных элементов длины дуги в римановой метрике.

Множество точек у на называется ограниченным относительно метрики если для некоторой (а следовательно, и для каждой) фиксированной точки существует такая постоянная с, что с для всех точек у из этого множества.

Лемма 13.1. Пусть матрица непрерывна на связном открытом у-множестве и положительно определена при каждом Если элемент в (12.1) является полным на то каждое подмножество из ограниченное относительно метрики имеет по крайней мере одну предельную точку в а следовательно, и компактное замыкание в В частности, каждое такое подмножество в ограничено (относительно евклидовой метрики в

Обратное утверждение очевидно. Лемма 13.1 нам понадобится только при доказательстве теоремы 13.1. Можно, конечно, обойтись и без нее, если в теореме 13.1 сделать дополнительное предположение о том, что для выполнено свойство, которое по лемме 13.1 вытекает из полноты. Доказательство леммы 13.1 имеется в книге Хопфа и Ринова [1]; см. также Милнор [1].

Теорема 13.1. Пусть на некотором открытом связном у-множестве Пусть матрица принадлежит классу на положительно определена при фиксированном у и такова, что элемент в (12.1) является полным на Пусть матрица определенная формулой (12.10), такова, что

Тогда каждое решение системы начинающееся при существует при всех кроме того, если два различных решения при то функция

В частности, если существует стационарная точка так что то для каждого решения функция

Следующее доказательство можно упростить, используя известный факт, что если две точки в то существует отрезок геодезической кривой С из класса соединяющий их. и такой, что величина равна римановой длине дуги С.

Доказательство. Пусть решение системы при Пусть Множество точек

имеет компактное замыкание в в силу леммы 13.1. Поэтому в силу замечания, сделанного после формулы (12.4), и аналогичного замечания для формы в (13.1) отсюда следует, найдется такая постоянная что

Пусть кривая класса удовлетворяющая условиям и величина настолько близка к что

Отсюда следует, что

Пусть решение системы удовлетворяющее условию так что решение, начинающееся в точке при Тогда на ее области определения; см. теорему V.3.I.

По теореме существования Пеано найдется такое не зависящее от и, что решение существует при для каждого фиксированного и, и Покажем, что существует при Это очевидно для малых в силу теоремы V.2.I. Предположим, что найдется наименьшее значение , такое, что если правый максимальный интервал для равен то

При фиксированном обозначим через длину дуги т. е.

где Заметим, что решение системы уравнений в вариациях (12.7) с Поэтому подинтегральное выражение в (13.6) равно где функция, определенная в (12.8) при фиксированном и с

Для малого фиксированного дуга лежит в поскольку В этом случае из (13.4) вытекает неравенство

Следовательно, в силу (13.5)

до тех пор, пока Неравенство (13.7) показывает, что при возрастании от до точка не может выйти из Следовательно, это неравенство выполнено при

Отсюда вытекает, что интеграл (13.6) с сходится. Поэтому из полноты в (12.1) следует существование предела при и который принадлежит при (так же, как и при Этот предел равен так что решение определено при Это противоречит тому факту, что правый максимальный интервал существования решения Следовательно, решение существует при для каждого и 1.

В частности, решение существует при Следовательно, если в (13.6) и (13.7), то, в силу (12.3), Поэтому в силу (13.5). Так как можно заменить в этом рассуждении любым значением из полуинтервала отсюда вытекает, что (13.2) выполняется на каждом интервале, на котором существует

Покажем теперь, что существует при 0. Если то решение является периодическим и существует при всех Если то мы можем использовать то же рассуждение с Тогда решение существует при т.е. существует при Повторяя это рассуждение, можно доказать, что существует при

Если стационарная точка и решение системы то функция убывает. В частности, при и функция ограничена при 0. Поэтому кривая имеет компактное замыкание в в силу леммы 13.1.

Заметим, что функция удовлетворяет, в силу (12.11) и (13.1), соотношению

0. Следовательно, по лемме 11.1, -предельные точки кривой С

-являются нулями функции Но из (13.1) видно, что тогда и только тогда, когда Поэтому о при Тем самым теорема 13.1 доказана.

Упражнение 13.1. Замените в теореме 13.1 условие (13.1) более слабым: для и всех Покажите, что справедливо следующее утверждение, аналогичное первой части теоремы 13.1: (а) функция не возрастает и (b) если решение системы начинающееся при то существует при