ЧАСТЬ III. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ

§ 6. Основные факты

Главными объектами, изучаемыми в этой части, будут неоднородная линейная система дифференциальных уравнений

соответствующая однородная система

и связанная с ними нелинейная система

Пусть обозначает некоторый фиксированный -интервал Символы обозначают элементы -мерного банахова пространства над полем вещественных или комплексных чисел с нормами (Здесь норма не обязательно евклидова.) В (6.1) свободный член является локально интегрируемой на функцией (т. е. интегрируемой на каждом замкнутом ограниченном подотрезке из Через обозначен эндоморфизм пространства при (почти всех) фиксированных локально интегрируемый на Следовательно, если в выбрана некоторая фиксированная координатная система, то есть локально интегрируемая -матричная функция на

Если решение системы (6.1) на отрезке то из леммы IV.4.1 вытекает фундаментальное неравенство

Если это неравенство проинтегрировать на по то мы получим

Пусть обозначает пространство вещественных функций на с топологией сходимости в среднем в на компактных интервалах из Тогда является пространством Фреше (т. е. полным, линейным и метрическим пространством). Например, на может быть введена следующая метрика (которая, однако, в дальнейшем использоваться не будет): пусть при и пусть расстояние между равно

Соответственно пусть обозначает пространство вещественных непрерывных функций на с топологией равномерной сходимости на компактных интервалах из Тогда С тоже будет пространством Фреше. Метрика на С, например, вводится так:

Символы обозначают обычные банаховы пространства вещественных функций на с нормами

Символ обозначает подпространство пространства состоящее из функций таких, что при Для остальных банаховых пространств В вещественных измеримых функций на нормы в В будут обозначаться через

Замечание. Строго говоря, пространства являются пространствами не «вещественных функций», а, скорее, пространствами «классов эквивалентности вещественных функций», при этом две функции считаются принадлежащими одному классу эквивалентности, если они совпадают всюду, за возможным исключением множества лебеговой меры нуль. Допуская вольность речи, поскольку это не приводит к недоразумениям, мы будем употреблять сокращенную терминологию. В этой терминологии значение выражений «непрерывная функция в или «пересечение L очевидно.

Символами будут обозначаться пространства измеримых вектор-функции на со значениями таких, что принадлежит Для или В соответственно обозначения норм или будут сокращены до или

Мы будем говорить, что банахово пространство сильнее, чем если содержится в как алгебраическое подпространство и ii) для каждого существует число такое, что из следует

(В силу теоремы 0.3 об открытом отображении легко видеть, что условие ii) эквивалентно следующему: сходимость в влечет за собой сходимость в

Если банахово пространство, более сильное, чем то термин -решение системы (6.1) или (6.2) означает, что Пусть есть множество начальных точек всех -решений системы (6.2). Тогда будет подпространством пространства У. Пусть подпространство пространства У, дополнительное к т. е. такое подпространство, что есть прямая сумма подпространств так что каждый элемент имеет единственное представление (Например, если евклидово пространство, то может, но не обязано, быть подпространством пространства У, ортогональным к Обозначим через проекцию пространства на аннулирующую т. е. если где

Лемма 6.1. Пусть локально интегрируема на и пусть банахово пространство, более сильное, чем Тогда существуют постоянные такие, что если есть -решение системы (6.2), то

Доказательство. является подпространством конечномерного пространства Кроме того, между решениями системы (6.2) и их начальными точками можно установить взаимно однозначное линейное соответствие. Значит, множество -решений системы (6.2) является конечномерным подпространством пространства находящимся во взаимно однозначном линейном соответствии с Хорошо известно (и нетрудно проверить), что если два конечномерных нормированных линейных пространства можно привести во взаимно однозначное соответствие, то норма некоторого элемента одного из пространств мажорируется нормой соответствующего элемента другого пространства, умноженной на константу. (Например, норму в можно выбрать так:

для любого Это следует из (6.6), если положить в

Пусть банаховы пространства, более сильные, чем Определим оператор из в 23 следующим образом: область определения 3) оператора состоит из функций которые абсолютно непрерывны (на компактных подинтервалах из Для такой функции значение Ту полагается равным Другими словами, где определяется из (6.1).

Лемма 6.2. Пусть локально интегрируема на и пусть банаховы пространства, более сильные, чем Тогда является замкнутым оператором, т. е. график

оператора является замкнутым множеством в банаховом пространстве

Доказательство. Нам нужно показать, что если являются элементами множества 3) и существуют пределы в 23, то )

Комбинируя основное неравенство (6.5) с неравенством (6.6) и его аналогом для пространства 23, получаем, что

Значит, на любом отрезке является равномерным пределом последовательности

Дифференциальное уравнение (6.1) эквивалентно интегральному уравнению

Так как из сходимости последовательности в 33 следует ее сходимость в то мы получаем, что для в 23 выполнено уравнение (6.1). Наконец, из условий следует, что Лемма доказана.

Пара банаховых пространств ( называется допустимой для уравнения (6.1) или для если каждое из них сильнее, чем и для каждого элемента дифференциальное уравнение (6.1) имеет -решение. Другими словами, отображение является отображением «на», т. е. область значений оператора совпадает с 23. (Например, если матрица непрерывная периода есть банахово пространство непрерывных функций периода с нормой то пара ( является для (6.1) допустимой в том и только в том случае, когда (6.2) не имеет нетривиального решения периода см. теорему 1.1.)

Лемма 6.3. Пусть локально интегрируема на пара является допустимой для (6.1) и Если то система (6.1) имеет единственное решение такое, что Кроме того, существуют положительные постоянные не зависящие от для которых

Доказательство. Рассмотрим сначала случай так что мы будем отыскивать -решения По условию (6.1) при любом заданном имеет решение Пусть где Пусть есть решение однородного уравнения (6.2), такое, что так что Тогда будет решением уравнения (6.1) и

Ясно, что является единственным -решением уравнения (6.1), имеющим начальную точку в Значит, между элементами и -решениями такими, что уравнения (6.1) имеется взаимно однозначное линейное соответствие. Из доказательства леммы 6.2 видно, что если оператор есть сужение оператора на множество, состоящее из элементов то оператор замкнут. Таким образом, есть

замкнутый линейный оператор, взаимно однозначно отображающий свою область определения из на 23. По теореме 0.3 об открытом отображении найдется постоянная такая, что если то Тем самым для случая теорема доказана.

Если то пусть есть единственное -решение уравнения (6.1), удовлетворяющее условию Пусть есть единственное -решение однородного уравнения (6.2), такое, что Тогда будет единственным -решением уравнения (6.1) с По уже доказанной части леммы согласно лемме Лемма 6.3 полностью доказана.