Глава IV. Линейные дифференциальные уравнения

В этой главе обозначают скалярные величины; суть -мерные векторы (столбцы); матрицы. Скаляры, компоненты векторов и элементы матриц предполагаются комплексными.

§ 1. Линейные системы

В этой главе мы установим некоторые элементарные факты, относящиеся к линейным системам дифференциальных уравнений как в однородном случае

так и в неоднородном

Во всей этой главе обозначает непрерывную -матрицу, непрерывный вектор, Напомним следующий основной результат, приведенный выше в виде следствия II 1.5.1.

Лемма 1.1. Задача Коши для уравнения (1.2) с начальным условием

имеет единственное решение и это решение существует на отрезке

Тот факт, что элементы матрицы и компоненты вектора у являются комплексными, не играет роли при использовании следствия III.5.1. В самом деле, система (1.2) эквивалентна некоторой вещественной системе для -мерного вектора, полученного выделением вещественной и мнимой частей компонент вектора у. Впрочем, простейшее доказательство леммы 1.1 получается непосредственным применением стандартного метода последовательных приближений.

Упражнение 1.1. Докажите лемму 1.1 методом последовательных приближений (это доказательство дает также мажорантную оценку где К обозначает такую константу, что для всех векторов см. неравенство (4.2) ниже).

Упражнение 1.2. Пусть обязательно непрерывна, но) интегрируема на т.е. элементы интегрируемы по Лебегу на Методом последовательных приближений покажите, что лемма 1.1 остается справедливой. В этом случае решение интерпретируется как непрерывное решение интегрального уравнения

или, что эквивалентно, удовлетворяет начальному условию (1.3), абсолютно непрерывна на а производная удовлетворяет (1.1) всюду, за исключением множества лебеговой меры нуль.

Из единственности решений задачи (1.1), (1.3) вытекает

Следствие 1.1. Если является решением системы (1.1) и для некоторого то

Для решений систем (1.1) и (1.2) имеет место следующая очевидная

Теорема 1.1 (принцип суперпозиции). 1) Пусть решения системы (1.1). Тогда любая их линейная комбинация с постоянными коэффициентами также является решением этой системы. 2) Если являются соответственно решениями систем (1.1) и (1.2), то является решением системы (1.2). Обратно, если являются решениями системы (1.2), то является решением системы (1.1).

Векторное уравнение (1.1) может быть заменено матричным дифференциальным уравнением

где обозначает матрицу с строками и (произвольным) числом столбцов. Ясно, что матрица является решением уравнения (1.4) в том и только в том случае, когда каждый столбец матрицы рассматриваемый как вектор-столбец, является решением системы (1.1).

Из следствия 1.1 и принципа суперпозиции вытекает, что если является -матричным решением уравнения (1.4), то ранг матрицы не зависит от Другими словами, если суть решений системы (1.1), то постоянные векторы линейно независимы для некоторого в том и только том случае, когда они линейно независимы для каждого

Ниже, если не оговорено противное, для уравнения (1.4) будут рассматриваться только -матричные решения

В этом случае или или для всех Этот факт в усиленной форме можно сформулировать в виде следующей теоремы.

Теорема 1.2 (Лиувилль). Пусть является -матричным решением уравнения (1.4), Тогда для всех

Для квадратной матрицы след определяется как сумма диагональных элементов, т. е.

Доказательство. Пусть Обычное разложение определителя где и правило дифференцирования произведения скалярных функций приводят к равенству

где является матрицей, полученной из матрицы заменой ее строки производными Так как, согласно (1.1), ясно, что строка матрицы состоит из суммы в раз увеличенной строки матрицы и линейной комбинации остальных строк Поэтому следовательно, что и дает требуемое равенство (1.5).

Под фундаментальной матрицей системы (1.1) или уравнения (1.4) понимают решение уравнения (1.4), такое, что Для того чтобы показать существование фундаментальной матрицы, достаточно взять матрицу столбцы которой являются решениями системы (1.1), удовлетворяющими начальным условиям где (постоянные) линейно независимые векторы. Ясно, что таким путем можно получить любую фундаментальную матрицу Специальную фундаментальную матрицу, удовлетворяющую условию

мы будем обозначать через

Упражнение 1.3. Пусть является -матрицей, непрерывной в и такой, что каждое решение системы (1.1) ограничено для Пусть фундаментальная матрица системы (1.1). Покажите, что ограничена тогда и только тогда, когда ограничена снизу.

Если решение уравнения (1.4) и с — постоянный вектор, то, согласно принципу суперпозиции,

также является решением системы (1.1). Более того, если фундаментальное решение уравнения (1.4), то каждое решение системы (1.1) представимо в виде (1.7), где т. е.

В частности, если то

Очевидно, верно и более общее утверждение: если является матричным решением уравнения (1.4) и С — постоянная -матрица, то также является решением уравнения (1.4). Если является фундаментальным решением уравнения (1.4), то таким путем можно получить все -матричные решения уравнения (1.4), причем для получения всех фундаментальных решений достаточно брать

Лемма 1.2. Пусть является фундаментальным решением уравнения (1.4), удовлетворяющим условию (1.6). Тогда для

Доказательство. В силу только что сделанных выше замечаний при правая часть (1.10) определяет фундаментальную матрицу, равную при Так как левая часть соотношения (1.10) обладает теми же свойствами, то в силу теоремы единственности (лемма 1.1) она совпадает с правой частью.