Глава III. Дифференциальные неравенства и единственность
«Интегрирование» различных дифференциальных неравенств — наиболее важный технический прием, используемый в теории дифференциальных уравнений. В первой части главы излагаются основные результаты этого типа, которые будут неоднократно использоваться на протяжении всей книги. Во второй части рассматриваются непосредственные приложения изложенных результатов, в том числе и некоторые теоремы единственности.
Повсюду в этой главе 
являются 
-мерными векторами, 
скалярами.
§ 1. Неравенство Гронуолла
Один из наиболее простых и полезных результатов, включающих в себя интегральное неравенство, состоит в следующем.
Теорема 1.1. Пусть 
неотрицательные функции, непрерывные на 
некоторая постоянная; кроме того
Тогда
В частности если 
По поводу, обобщения теоремы см. следствие 4.4.
Доказательство. Случай 1: 
Пусть 
обозначает правую часть неравенства (1.1), так что 
Значит, 
Так как 
то, интегрируя по 
получаем 
Используя неравенство получаем отсюда (1.2).
Если неравенство (1.1) выполняется при 
то случай 1 влечет за собой справедливость неравенства (1.2) при любом 
Устремляя С к 0, получаем, что 
