Глава XI. Линейные уравнения второго порядка

§ 1. Предварительные сведения

Среди дифференциальных уравнений, наиболее часто используемых в математике и физике, следует выделить линейное уравнение второго порядка, имеющее вид

или

Как правило, если не оговорено противное, предполагается, что функции входящие в эти уравнения, являются непрерывными (вещественными или комплексными) на некотором -интервале У, который может быть как ограниченным, так и неограниченным. Причина, по которой предполагается, что скоро станет ясной.

Из двух выражений (1.1) и (1.2) последнее является более общим, поскольку уравнение (1.1) может быть записано в виде

если определить следующим образом: 101

при некотором Частичное обращение этого утверждения также верно, поскольку если функция непрерывно дифференцируема, уравнение (1.2) можно записать в виде

а это уравнение имеет вид (1.1).

В случае, если функция непрерывна, но не имеет непрерывной производной, уравнение (1.2) не может быть записано в виде (1.1). Тогда уравнение (1.2) можно интерпретировать как линейную систему из двух уравнений первого порядка для неизвестного двумерного вектора и):

Другими словами, решение уравнения (1.2) должно быть такой непрерывно дифференцируемой функцией, что функция имеет непрерывную производную, удовлетворяющую (1.2). Если непрерывны, к системе (1.5), а потому и к уравнению (1.2) применимы стандартные теоремы существования и единственности для линейных систем из § IV. 1. (Мы можем рассматривать также более общие (т. е. менее гладкие) типы решений, если предполагать, например, только, что функции локально интегрируемы; см. упр. IV.1.2.)

Частному случаю уравнения (1.2) при соответствует уравнение

Если функция принимает вещественные значения, уравнение (1.2) может быть приведено к такому виду с помощью замены независимых переменных

при некотором Функция имеет производную и потому строго монотонна. Следовательно, функция имеет обратную определенную на некотором -интервале. Посе введения новой независимой переменной уравнение (1.2) переходит в уравнение

где аргумент выражений должен быть заменен функцией Уравнение (1.8) является уравнением типа (1.6).

Если функция имеет непрерывную производную, то уравнение (1.1) может быть приведено к виду (1.6) с помощью замены неизвестной функции и на

при некотором В самом деле, подстановка (1.9) в (1.1) приводит к уравнению

которое имеет вид (1.6).

В силу сказанного выше, мы можем считать, что рассматриваемые уравнения второго порядка в общем случае имеют вид

(1.2) или (1.6). Утверждения, содержащиеся в следующих упражнениях, будут часто использоваться в дальнейшем.

Упражнение 1.1. (а) Простейшими из рассматриваемых в этой главе уравнений являются уравнения

где постоянная. Проверьте, что общими решениями этих уравнений служат функции

соответственно, (b) Пусть постоянные. Покажите, что функция удовлетворяет уравнению

тогда и только тогда, когда является решением уравнения

В самом деле, подстановка приводит (1.13) к виду

Поэтому, в силу общее решение уравнения (1.13) имеет вид

в зависимости от того, имеет ли уравнение (1.14) кратный корень или различные корни Если вещественны и можно заменить комплексное представление (1.15) общего решения вещественным

(с) Пусть — постоянная. Покажите, что функция является решением уравнения

тогда и только тогда, когда удовлетворяет уравнению

Поэтому, если общее решение уравнения (1.17) имеет следующий вид:

Если вещественно и то общее решение можно записать в вещественном виде

Действительно, замена переменных переводит (1.17) в уравнение

Поэтому, в силу общее решение уравнения (1.17) имеет вид

в соответствии с тем, будет ли или

Упражнение 1.2. Рассмотрим дифференциальное уравнение

Замена переменных

приводит (1.23) к виду

При заданном постоянном рассмотрим последовательность функций

определенную соотношением где так что

а в случае, если верхний и нижний индексы у знака произведения совпадают, мы полагаем его равным 1. Если в (1.23), замена переменных (1.24) приводит (1.23) к такому же виду, где заменены на В частности, если вещественно и вещественные решения (1.23) имеют бесконечно много нулей при больших в том и только в том случае, если