§ 7. Доказательство леммы 4.3

Пусть будут такими же, как в лемме 4.2. В силу (4.19) и (4.20) мы имеем Поэтому из (4.26) вытекает, что Из (4.19), (4.20) и (4.28) следует, что существует при всех

Первая часть (4.29) вытекает из (4.20) и (4.22). Из неравенства следует существование предела не равного нулю, как и при доказательстве теоремы 1.1.

Последняя часть леммы 4.3 не вытекает из леммы 4.2, но может быть получена из следствия 3.1. Пусть

где определяются следующим образом:

и — положительная постоянная, точное значение которой будет указано далее. Пусть подмножество в на котором подмножество в где

Тогда, как и в предыдущем параграфе, на на Если то и

Так как

то простой подсчет показывает, что на

Пусть настолько велико, что

Следовательно, если то на В этом случае является -подмножеством множества есть такое подмножество из где либо либо

Пусть

Тогда в силу (7.3) из следует, что Для Пусть

так что Топологически множество эквивалентно шару в -пространстве. (Если одномерны, то 5 имеет вид заштрихованной фигуры на рис. 3.) Ясно, что это подмножество на котором или так что топологически множество является границей но не является ретрактом .

Рис. 3

С другой стороны, ретракт множества и ретракцией служит отображение : определяемое равенством где функция выбрана так, что и

(Тот факт, что ретракт множества легко усмотреть из геометрических соображений, так как проектирование -пространства в -пространство переводит в множество, являющееся топологической границей «цилиндра», сечению которого соответствует множество пример 2 из § 2.)

Отсюда, используя следствие 3.1, можно доказать существование такой точки что отрезок интегральной кривой задачи (4.11), (4.12) лежит в на своем

правом максимальном интервале существования Как и выше, в начале доказательства этой леммы, можно было показать, что если или если величина достаточно мала; тогда выполнены соотношения (4.20) и (4.29).