§ 7. S- и L-липшицевы формы

Доказательство достаточности в теореме 6.1 распадается на две части: единственность и дифференцируемость. Оказывается, если интересоваться только единственностью, то необходимое и достаточное условие, приведенное в теореме 6.1, можно значительно ослабить. Рассмотрим случай, когда нет параметра т. е. когда

Соответственно и аналог соотношения (6.2) имеет вид

Здесь где

и если производная существует, то

где непрерывные функции от Соответственно

Понятие дифференциальной -формы с непрерывной внешней производной обобщает понятие -формы По аналогии с леммой 5.1 можно дать следующее обобщение понятия -формы с коэффициентами, удовлетворяющими условию Липшица.

Непрерывная линейная дифференциальная -форма (5.1), определенная в области называется -липшицевой в если в существует последовательность -форм класса таких, что равномерно на при равномерно ограничены в

Упражнение 7.1. Покажите, что если коэффициенты формы (5.1) удовлетворяют в условию Липшица, то эта форма является -липшицевой.

Упражнение 7.2. Рассмотрим случай размерности Пусть форма

непрерывна в открытой односвязной -области , и пусть в существует такая ограниченная измеримая функция что для любого подмножества а ограниченного кусочно -гладкой жордановой кривой

Покажите, что тогда является -липшицевой в любом открытом подмножестве с компактным замыканием (Ясно, что здесь «измеримость» означает измеримость по плоской мере Лебега.) В нашем случае можно сказать, что имеет «ограниченную внешнюю производную». Это понятие не допускает простого обобщения на случай произвольной размерности так как кусок (двумерной) поверхности всегда имеет -мерную меру нуль, если

Условие -липшицевости каждой из форм в (7.2) может быть обобщено следующим образом. Пусть функция непрерывна, а матрица непрерывна и невырожденна в Тогда форма (7.2) называется -липшицевой в если в существует последовательность форм вида

принадлежащих классу и таких, что равномерно в при кроме того, требуется существование постоянных удовлетворяющих в условию

Здесь —матрицы, определяемые из (7.6) формулами, аналогичными Неравенства (7.7) имеют следующий смысл: если — две -матрицы, то неравенство означает, что соответствующие квадратичные формы удовлетворяют неравенству для всех вещественных -мерных векторов где точка означает скалярное умножение. Неравенство эквивалентно неравенству где означает эрмитову часть матрицы В.

Форма (7.2) называется -липшицевой сверху в если неравенство (7.7) заменено следующим неравенством:

Рассмотрим эти условия, когда принадлежат классу В этом случае внешняя производная формы (7.2) может быть формально вычислена по формуле

которая дает

Отсюда и из (7.5) видно, что

Если

где матрица является кососимметрической. Это можно показать следующим образом: частная производная матрицы по равна так что эрмитова часть матрицы равна Это объясняет замену первого слагаемого в (7.10) соответствующим слагаемым в (7.11). Такое же замечание применимо и к третьим слагаемым с дифференцированием по вместо . О других применениях формулы (7.11) см. § XIV. 12.

Упражнение 7.3. Пусть непрерывна в и удовлетворяет условию Покажите, что форма является -липшицевой сверху, в (7.8).